Бесконечное кольцо R

[Lorein_]

Задача звучит так. В бесконечном кольце R либо каждый ненулевой элемент обратим, либо число необратимых элементов бесконечно.
1. Пусть элемент $x \ne 0$, $x$ - необратим, тогда и $(xR) = \left\lbrace xa, a\in R\right\rbrace$ также необратим, а так как это главный идеал, то получили бесконечное число необратимых элементов.
2. Пусть необратимый элемент всего один, тогда по первому условию каждый ненулевой обратим, а следовательно необратимый элемент может быть только нулём.
Верны ли такие рассуждения? И можно ли доказать второй пункт строже?

[york]

Надо доказать, что если есть один необратимый элемент, то есть и бесконечно много, что в 1-м пункте вы и сделали. А ещё есть кольца, все элементы которых обратимы. Что ещё то надо?

[vpb]

Кольцо-то коммутативно, али нет ?

-- 19.06.2020, 12:05 --

Lorein_ в сообщении #1469590 писал(а):

Верны ли такие рассуждения?

Так их пока нет, даже для коммутативного случая.

Lorein_ в сообщении #1469590 писал(а):

И можно ли доказать второй пункт строже?

Непонятно, что имеете в виду. В задаче никакого "второго пункта" нет, есть прямое и обратное утверждение.

[Lorein_]

york в сообщении #1469597 писал(а):

Надо доказать, что если есть один необратимый элемент, то есть и бесконечно много, что в 1-м пункте вы и сделали. А ещё есть кольца, все элементы которых обратимы. Что ещё то надо?

Есть ли строгое доказательство второго пункта? У меня не получается что-то путное придумать. Например есть элемент $a\in R$, нужно показать, что он будет нулём. Достаточно ли "первого либо", что каждый ненулевой элемент обратим?

vpb в сообщении #1469598 писал(а):

Кольцо-то коммутативно, али нет ?

Про это ничего не сказано. Думаю, что да.

[vpb]

Ну, допустим, коммутативно. Докажите, что если $x$ обратим, и $x=yz$ для некоторых $y$, $z$, тогда оба $y$ и $z$ тоже обратимы...

[mihaild]

Lorein_ в сообщении #1469600 писал(а):

Есть ли строгое доказательство второго пункта?

Второй пункт - это простое следствие из первого.
Вообще, если хотите рассуждать более строго, то можно так:
-надо доказать, что (все ненулевые элементы обратимы) или (необратимых элементов бесконечное число)
-предыдущее логически эквивалентно: если неверно, что (все ненулевые элементы обратимы), то (необратимых элементов бесконечное число)
-предыдущее логически эквивалентно: если (существует ненулевой необратимый элемент), то (необратимых элементов бесконечное число)
И вот ваш первый пункт как раз претендует на доказательство последнего утверждения. Правда я не понимаю, почему главный идеал должен содержать бесконечное число элементов - возьмем например кольцо функций из целых чисел в $\mathbb Z_2$, в нём главные идеалы состоят из 1 либо 2 элементов... (бред, потому что это же даже кольцо с единицей) бывают из 2 элементов.

[Lorein_]

mihaild в сообщении #1469603 писал(а):

Правда я не понимаю, почему главный идеал должен содержать бесконечное число элементов - возьмем например кольцо функций из целых чисел в $\mathbb Z_2$, в нём главные идеалы состоят из 1 либо 2 элементов...

Здесь же конкретное бесконечное кольцо R, домножив ненулевой необратимый элемент на элемент из кольца мы будем получать необратимые элементы, по сути получили определение идеала. А так как кольцо бесконечно, то и элементов бесконечно много.

[vpb]

Lorein_ в сообщении #1469605 писал(а):

домножив ненулевой необратимый элемент на элемент из кольца мы будем получать необратимые элементы,

Докажите.

[mihaild]

Lorein_ в сообщении #1469605 писал(а):

конкретное бесконечное кольцо R

Конкретное - в смысле вся задача про одно фиксированное кольцо (тогда какое? я не знаю стандартного кольца, обозначаемого $R$), или мы всё-таки рассматриваем все бесконечные кольца, и хотим показать, что для каждого из них наша дизъюнкция выполнена?

Lorein_ в сообщении #1469605 писал(а):

домножив ненулевой необратимый элемент на элемент из кольца мы будем получать необратимые элементы

А почему мы будем получать разные необратимые элементы?

[Someone]

Lorein_ в сообщении #1469605 писал(а):

Здесь же конкретное бесконечное кольцо R, домножив ненулевой необратимый элемент на элемент из кольца мы будем получать необратимые элементы

А кольцо ассоциативное? Или это не важно?

[vpb]

(Someone)

И ассоциативное, и коммутативное, и с единицей, и хайли лайкли, что мы ТС в теме больше не увидим. (Хорошо б, если я ошибаюсь).

[Lorein_]

vpb в сообщении #1469610 писал(а):

Докажите.

Пусть $a\ne0, a \in R$, $a$- необратим, от противного пусть $ar, r \in R$ - обратим, тогда найдется $b\ne0, b\in R$ т.ч. $(ar)b = 1$ отсюда $a(rb) = 1$ Получили, что a обратим. Противоречие.

-- 19.06.2020, 20:47 --

Ещё раз перечитала условие. Получается, если доказывать от обратного, то формулировка будет такая:В бесконечном кольце R либо каждый ненулевой элемент необратим, либо число необратимых конечно.
Получается, идеал не обязательно приплетать? Ведь речь идёт о каждом необратимом элементе. Получится, что число необратимых бесконечно

[mihaild]

Lorein_ в сообщении #1469650 писал(а):

если доказывать от обратного, то формулировка будет такая:В бесконечном кольце R либо каждый ненулевой элемент необратим, либо число необратимых конечно

Нет, не получится.
Даже если доказывать от противного, то формулировка того, что надо доказать, не поменяется.
Если вы хотите доказывать от противного, то надо взять в качестве предположения отрицание того, что мы хотим доказать, и прийти к противоречию. Но процитированное мной выше утверждение не является отрицанием того, что нужно доказать.

[Lorein_]

mihaild в сообщении #1469652 писал(а):

Но процитированное мной выше утверждение не является отрицанием того, что нужно доказать.

А что является отрицанием того, что нужно доказать?
В моих рассуждениях получается что я беру отрицание одного либо и прихожу к другому либо.

[mihaild]

Lorein_ в сообщении #1469653 писал(а):

А что является отрицанием того, что нужно доказать?

Что является отрицанием утверждения "куб синий или шар красный"?