Трехкомпонентная смесь

[EUgeneUS]

Есть две смеси $A$ и $B$, каждая из которых состоит из трех веществ $1$, $2$ и $3$.
Смеси взяли в неизвестной пропорции и смешали, получив смесь $C$.

Обозначения: $A_1$ - количество вещества "1" в смеси $A$
Известны отношения
$a_{1,2} = \frac{A_1}{A_2}$
$b_{1,2} = \frac{B_1}{B_2}$
$c_{1,2} = \frac{C_1}{C_2}$
$b_{3,2} = \frac{B_3}{B_2}$
$c_{3,2} = \frac{C_3}{C_2}$

Найти отношение $a_{3,2} = \frac{A_3}{A_2}$

(Оффтоп)

Задачка, конечно, для школьников средних классов. Но наткнулся на одни грабли, которые пришлось обойти.

[kotenok gav]

$C_1=xA_1+(1-x)B_1$, $C_2=xA_2+(1-x)B_2$, и так далее. Если подставить, то должно получиться, скорее всего.

-- 12 июн 2020, 15:26 --

$xA_1+(1-x)B_1=c_{1,2}(xA_2+(1-x)B_2)$, значит, $xA_2a_{1,2}+(1-x)B_2b_{1,2}=xc_{1,2}A_2+(1-x)c_{1,2}B_2$, решаем, находим отношение $\dfrac{A_2}{B_2}$ (если $x\ne0$ и $a_{1,2}\ne c_{1,2}$). Дальше аналогично.

[EUgeneUS]

kotenok gav в сообщении #1468321 писал(а):

решаем, находим отношение $\dfrac{A_2}{B_2}$

У Вас одно уравнение на две переменных: $x$ и $\frac{A_2}{B_2}$

[kotenok gav]

Ну в зависимости от $x$.

-- 12 июн 2020, 15:44 --

$xA_3+(1-x)B_3=c_{3,2}(xA_2+(1-x)B_2)$, находим отношение $\dfrac{A_2}{B_2}$ в зависимости от $x$ и $a_{3,2}$. Вангую, x сократится.

-- 12 июн 2020, 15:46 --

Да, точно сократится. $\dfrac{A_2}{B_2}$ - известная величина (в первом случае да, во втором зависит от $a_{3,2}$), умноженная на $\dfrac{1-x}x$.

[EUgeneUS]

kotenok gav в сообщении #1468326 писал(а):

Вангую, x сократится.

Не сократится.

-- 12.06.2020, 09:18 --

Если

kotenok gav в сообщении #1468326 писал(а):

$\dfrac{A_2}{B_2}$ - известная величина (в первом случае да, во втором зависит от $a_{3,2}$), умноженная на $\dfrac{1-x}x$.

то, как же он сократится?
Но тут, да, уже просматривается, как обойти эти грабли.

[kotenok gav]

Сократится.

kotenok gav в сообщении #1468326 писал(а):

$\dfrac{A_2}{B_2}$ - известная величина (в первом случае да, во втором зависит от $a_{3,2}$), умноженная на $\dfrac{1-x}x$.

(Сократится - я имел в виду, в равенстве между двумя $\dfrac{A_2}{B_2}$)

[EUgeneUS]

kotenok gav в сообщении #1468330 писал(а):

(Сократится - я имел в виду, в равенстве между двумя $\dfrac{A_2}{B_2}$)

ОК.
Я просто сводил уравнения к виду:
$G(\frac{A_2}{B_2}, k) = F(a_{i,2},b_{i,2},c_{i,2})$, где $i \in {1, 3}$, $k$ - пропорция, в которой взяли первоначальные смеси.
Поэтому у меня не "сокращалось", а "приравнивалось". Но решение одно и тоже, конечно.

[Sicker]

kotenok gav в сообщении #1468321 писал(а):

$C_1=xA_1+(1-x)B_1$, $C_2=xA_2+(1-x)B_2$, и так далее. Если подставить, то должно получиться, скорее всего.

-- 12 июн 2020, 15:26 --

$xA_1+(1-x)B_1=c_{1,2}(xA_2+(1-x)B_2)$, значит, $xA_2a_{1,2}+(1-x)B_2b_{1,2}=xc_{1,2}A_2+(1-x)c_{1,2}B_2$, решаем, находим отношение $\dfrac{A_2}{B_2}$ (если $x\ne0$ и $a_{1,2}\ne c_{1,2}$). Дальше аналогично.

Непонятные у вас уравнения - если мы увеличим количество каждого компонента в смеси А в миллион раз, то ничего не должно измениться (т.к. пропорции останутся теми же)

[kotenok gav]

Так $A_1$ не количество, а пропорция.

-- 13 июн 2020, 21:08 --

Так $A_1$ не количество, а пропорция.

[Sicker]

EUgeneUS в сообщении #1468251 писал(а):

Обозначения: $A_1$ - количество вещества "1" в смеси

А, понятно

[kotenok gav]

Ну, да, ТС неаккуратно написал. Должно быть "отношение количества вещества 1 в смеси А к общему количеству вещества в смеси А".

[EUgeneUS]

kotenok gav в сообщении #1468669 писал(а):

Ну, да, ТС неаккуратно написал.

Я написал то, что написал. $A_1$ - это количество вещества "1" в смеси $A$.

Но если понимать как

kotenok gav в сообщении #1468669 писал(а):

"отношение количества вещества 1 в смеси А к общему количеству вещества в смеси А".

то ничего не меняется: отношения (которые известны, и которое нужно найти) будут теми же самыми. В решении нечего не изменится.

[Sicker]

EUgeneUS
kotenok gav
У меня есть короткое решение
Возьмем первую и вторую смеси в пропорции $\frac{1-n}{A_2}$ и $\frac{n}{B_2}$, тогда
$b_{1,2}n+a_{1,2}(1-n)=c_{1,2}$
$b_{3,2}n+a_{3,2}(1-n)=c_{3,2}$
тогда $a_{3,2}=\frac{c_{3,2}(b_{1,2}+a_{1,2})-b_{3,2}(c_{1,2}+a_{1,2})}{c_{1,2}-b_{1,2}}$

[Sicker]

EUgeneUS
kotenok gav
Вас не восхищает это решение?
Я кстати допустил описку
Из системы получается $a_{3,2}=\frac{c_{3,2}(b_{1,2}-a_{1,2})-b_{3,2}(c_{1,2}-a_{1,2})}{b_{1,2}-c_{1,2}}$
У вас так же?

[rascas]

Sicker в сообщении #1469065 писал(а):

Вас не восхищает это решение?

Без детального объяснения перехода (тогда):

Sicker в сообщении #1469029 писал(а):

Возьмем первую и вторую смеси в пропорции $\frac{1-n}{A_2}$ и $\frac{n}{B_2}$, тогда
$b_{1,2}n+a_{1,2}(1-n)=c_{1,2}$

это похоже на подгонку под ответ.

Sicker в сообщении #1469065 писал(а):

$a_{3,2}=\frac{c_{3,2}(b_{1,2}-a_{1,2})-b_{3,2}(c_{1,2}-a_{1,2})}{b_{1,2}-c_{1,2}}$
У вас так же?

У меня получился такой же ответ, но метод решения совсем другой.