Второй дифференциал и двукратная дифференцируемость.

[inevitablee]

Здравствуйте. Есть такая задача: Пусть функция $u(x,y)$ такова, что в точке $M_0(x_0,y_0) выполнены следующие условия: u(M_0) = 0, du(M_0) =0, d^2u(M_0) =0$. Докажите, что $u(x,y) = o (\rho^2)$ при $\rho\to 0$, где $\rho = \sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2&}$.

Я понимаю, что если докажу двукратную дифференцируемость данной функции в некоторой окрестности данной точки, то дальше задача тривиально решается с применением формулы Тейлора для функции многих переменных.

Но проблема в том, что из существования второго дифференциала в точке вытекает только существование вторых частных производных в точке. Это значит, что помимо того, что первые производные существуют в этой точке в силу существования первого дифференциала, они еще и непрерывны в этой точке, ибо у них существуют производные. Тогда в силу достаточного условия дифференцируемости в точке(считаем, что она определена на каком-то множестве), сама функция $u$ дифференцируема в точке. Однако же здесь везде речь идет только об этой точке. А двукратная дифференцируемость в точке по определению требует дифференцируемости функции в некоторой окрестности данной точки И дифференцируемости частных производных в самой точке. Т.е. я не могу получить эту окрестность и выйти на использование формулы Тейлора.

Есть формула Тейлора-Пеано, но и она потребует двукратной дифференцируемости функции в точке, так что проблему она не решает.

[Padawan]

Из $u'_x(M_0)=u'_y(M_0)=du'_x(M_0)=du'_y(M_0)=0$ получите $u'_x,u'_y=o(\rho)$, а отсюда уже требуемое.

[inevitablee]

Padawan
Тот факт, что $u'_x, u'_y = o(\rho)$, я получу из просто из того, что обе эти частные производные равны нулю в данной точке, разве нет?
При этом я напишу( из существования на некотором множестве и непрерывности в точке частных производных следует дифференцируемость функции в точке): $\Delta u = u(x,y) - u(x_0,y_0)=u(x,y)=\alpha \rho$, где $\alpha$ - бесконечно малая функция при $\rho \to 0$, откуда еще не следует, что $u(x,y) = o(\rho^2)$.

[Padawan]

Воспользуйтесь формулой конечных приращений.

[SomePupil]

inevitablee в сообщении #1468165 писал(а):

Тот факт, что $u'_x, u'_y = o(\rho)$, я получу из просто из того, что обе эти частные производные равны нулю в данной точке, разве нет?

Неверно. Например, $f(x,y)=x^{3/2}+y^{3/2}$ имеет в точке $M_0(0, 0)$ нулевые частные производные. но они отнюдь не бесконечно малые относительно расстояния.

$$f_x = \frac 32 x^{1/2} \ne o(\rho),\; f_y = \frac 32 y^{1/2} \ne o(\rho),\; \rho = \sqrt{x^2+y^2}.$$

Так что надо воспользоваться условием на второй дифференциал.

Также первые производные определены в окрестности точки $M_0(x_0, y_0),$ а не только в самой этой точке, поскольку без этого нельзя определить второй дифференциал.

[inevitablee]

SomePupil
Хорошо, это я понял. Т.е первые производные определены в некоторой окрестности, но непрерывны только в самой точке, ибо в этой точке существуют частные производные второго порядка, так?

-- 11.06.2020, 12:23 --

inevitablee
Хорошо, я наметил схему решения: нужно представить приращение функции в этой точке таким образом, чтобы применить два раза формулу конечных приращений по отдельным аргументам(соединить их Г-образной ломаной), оттуда получится ответ. Но для этого нужна непрерывность и дифференцируемость первых производных в некоторой окрестности точки, а не только существование. К тому же, сама окрестность неизвестно как выглядит, и может быть так, что нельзя получить Г-образную ломаную в ней.

[Padawan]

inevitablee в сообщении #1468173 писал(а):

Но для этого нужна непрерывность и дифференцируемость первых производных в некоторой окрестности точки, а не только существование.

Нет, только существование. Теорема Лагранжа.

[inevitablee]

Padawan
Это для теоремы Лагранжа для самой функции, а я говорил про применение этой формулы к приращениям самих производных.

[Padawan]

А этого не надо. Дайте определение, что такое $d^2 u(M_0)$.

[inevitablee]

Padawan
Дифференциал от первого дифференциала.

[Padawan]

Ну вот. Это предполагает, что первый диффференциал является дифференцируемой функцией в точке $M_0$. То есть $u'_x$, $u'_y$ дифференцируемы в $M_0$. И $du'_x(M_0)=du'_y(M_0)=0$. Отсюда по определению дифференцируемости $u'_x=u'_y=o(\rho)$.

[inevitablee]

Padawan
Да, понял.

[Someone]

inevitablee в сообщении #1468173 писал(а):

первые производные определены в некоторой окрестности, но непрерывны только в самой точке, ибо в этой точке существуют частные производные второго порядка, так?

Нет. Хорошо известно, что существования частных производных недостаточно для непрерывности. Это для функции одной переменной существование производной равносильно дифференцируемости, а для функций нескольких переменных дифференцируемость существенно сильнее существования частных производных. В частности, непрерывность из дифференцируемости следует, а из существования частных производных не следует. Классический пример:

$$f(x,y)=\begin{cases}\frac{2xy}{x^2+y^2}&\text{при }(x,y)\neq(0,0),\\ 0&\text{при }(x,y)=(0,0).\end{cases}$$

[inevitablee]

Someone
Я это прекрасно понимаю. Но я писал другое: частные производные по каждому аргументу существуют в точке, поэтому функция непрерывна по каждому аргументу в этой точке.

-- 11.06.2020, 14:28 --

Padawan
Padawan
В теореме Лагранжа для функций многих переменных требуется двукратная дифференцируемость функции в точке. Т.е нужно, чтобы функция была дифференцируемой в некоторой окрестности точки, а ее частные производные непрерывны в самой точке. Последнее условие, очевидно, выполнено в силу существования второго дифференциала в точке(т.е существования вторых производных в точке). Однако для установления дифференцируемости функции в некоторой окрестности нужно доказать, что в каждой точке этой окрестности частные производные существуют(да, это так в силу существования второго дифференциала) и они непрерывны. Но как мне доказать непрерывность частных производных в каждой точке нашей окрестности? Ведь существование второго дифференциала гарантирует только тo, что они определены в некоторой окрестности.

[Someone]

inevitablee в сообщении #1468196 писал(а):

функция непрерывна по каждому аргументу в этой точке.

Но написано у Вас было другое:

inevitablee в сообщении #1468173 писал(а):

непрерывны только в самой точке

У математиков принято читать то, что написано, а не гадать, о чём думал автор.