Остаток в формуле суммирования Эйлера - Маклорена

[SomePupil]

_hum_ в сообщении #1464552 писал(а):

То есть, чтобы пользоваться асмптотиками, мне нужно будет еще налагать условия на порядок малости $(u - \mu)$ по сравнению с $\sigma$, чего бы очень не хотелось.

Это уже, пожалуй, слишком хитро для меня. Мне казалось, $u$ и $\mu$ фиксированы, и $\sigma\to 0$. Я запутался

А вы уверены, что вам именно асимптотика нужна? Если задача инженерная (хотя смахивает на задачу из статистики), то, возможно, стоит ограничиться численными расчетами.

[_hum_]

SomePupil
в общем инженерная задача такая: есть заданная система управления (светофорами), на которую воздействует случайный шум (случайные колебания транспортного потока). Надо оценить, как хорошо будет работать такая система в зависимости от ее параметров и параметров шума. Оказалось, что эта задача сводится к задаче оценке равновесного распределения вероятностей для марковского процесса, точнее, процесса неоднородного случайного блуждания. Я нашел формулы для него, но они очень громоздкие для прямого анализа (там куча произведений и сумм). Вот я и подумал, может, можно свести произведения к сумме (через логарифм), а сумму к интегралу. В итоге бы получилась аналитическая зависимость, которую можно было бы уже методами аналитического анализа исследовать. (Чем плохи численные расчеты - они, в отличие от аналитических, не гарантируют, что нет других ситуаций, в которых все будет по-другому.). В итоге я пришел к формуле, связывающей сумму с интегралом - формуле Эйлера-Маклорена, но как избавиться от остатка не смог придумать. Тогда появилась идея, оставить в разложении только значимые для расчета слагаемые, например, которые бы при малой $\sigma$ (которая в реальности, действительно, мала), давали бы основной вклад в сумму. Вот и захотел получить главный член асимптотики...

[novichok2018]

Ссылка на подробное изложение ф. Э-М, включая оценки остатка. Вы хотели не Бурбаков, а что-то более стандартное.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969. — Т. 2.
С. 540-551.
п. 465 Вывод формулы Э-М.
п. 466. Исследование дополнительного члена формулы Э-М.

[vicvolf]

_hum_ в сообщении #1464552 писал(а):

Во-первых, с ростом $l$ функция $S_{l_o, \mu, \sigma}(l)$ (если речь о ней) в общем случае не стремится к нулю, а во-вторых, мне нужен главный член асимптотики, и из вашего разложения (тоже не совсем понятно, откуда взявшегося) я его не вижу [на всякий случай, под главным членом асимптотики для функции $f$ я понимаю ненулевую функцию $g$, такую, что $ f = g + o(g)$ ]

Вы правы функция стремится к $-\infty$, поэтому асимптотика с использованием формулы Эйлера-Маклорена, как Вы просили, имеет вид:

$\int_{k=1}^{l}\log {(\dfrac{1-\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}{\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)})dk+O(\log(\dfrac{1-\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}{\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}))$.

Главный член асимптотики в формуле Эйлера-Маклорена - интеграл.

[DeBill]

_hum_
Грубый расчет по формулам SomePupil (там только вроде, половинка потерялась в показателе) дает главный член типа
$\frac{l_0}{6\sigma^2}(\mu^3-(\frac{l}{l_0}-\mu)^3)$
Т.е., все - порядка $\sigma^{-2}$, но в константе возможна небольшая лажа (ибо сумма заменялась интегралом). А Вы, как я понимаю, хотите именно константу уточнить? Ну так и работайте с простыми суммами $\sum\limits_{}^{}x_k^2$, где $x_k=\frac{\frac{k}{i_0}-\mu}{\sigma}$, уточняя их...

[_hum_]

novichok2018
спасибо, буду разбираться (но на первый взгляд, там немного другие условия - чтобы две подряд четные производные были одного знака. В упражнении же у Бурбаки условие на монотонность нечетной производной, и мне такое больше нравится)

vicvolf
хотелось бы каких-то обоснований, а не верь на слово


DeBill
я уже говорил выше SomePupil, что используемая асимптотика для erf не работает, когда $x_k$, в ваших обозначениях, не является большим (например, за счет малого числителя).
Что именно я хочу, я описал в предыдущем своем посте.

[DeBill]

_hum_ в сообщении #1464897 писал(а):

я уже говорил выше SomePupil, что используемая асимптотика для erf не работает, когда $x_k$, в ваших обозначениях, не является большим

Это верно. Но вклад в общую сумму (как в исходном выражении, так и в аппроксимирующей ас-й сумме) от всех таких слагаемых мал (по сравнению с прочими слагаемыми, да и со всей суммой), так что ими спокойно можно пренебречь (кроме, конечно, случая, когда $\mu =\frac{l}{2l_0}$)

[_hum_]

DeBill
Почему ж вклад от них мал? Мне так видится, с точностью до наоборот. Это как в теории вероятностей - есть ЦПТ, которая работает в области отклонений от среднего $\sim \sqrt{n}$, а есть законы для описания вероятностей больших уклонений от среднего. Вот вы фактически именно эти большие уклонения только и рассматриваете.А мне хотелось бы и те, и другие, при возможности :)

[novichok2018]

_hum_ - если следующая чётная производная имеет определённый знак, то предыдущая нечётная производная монотонна, нет? Так что это более общие условия, похоже.
Упражнению в Бурбаки также можно доверять и использовать как ссылку, там всё проверено годами.

[DeBill]

_hum_ в сообщении #1464908 писал(а):

Почему ж вклад от них мал? Мне так видится, с точностью до наоборот

Это - так, если мы говорим за сами вероятности. Однако Вы же считаете их логарифмы!
Так что основной вклад в Вашу сумму дают как раз те слагаемые, для которых ФИ мало (и икс-катые большие отрицательные), или, наоборот, близка к единице (иксы большие положительные). А там асимптотика работает.

[_hum_]

novichok2018 в сообщении #1464922 писал(а):

_hum_ - если следующая чётная производная имеет определённый знак, то предыдущая нечётная производная монотонна, нет? Так что это более общие условия, похоже.

Там говорится о двух подряд идущих четных производных, причем они еще должны быть и одного знака. То есть ,например, вторая и четвертая должны не менять знак и совпадать по этим знакам.

DeBill в сообщении #1464943 писал(а):

Однако Вы же считаете их логарифмы!

Нет, мы (как я уже объяснял ранее) считаем сумму в чем-то наподобие $p_l = \Pi_{k=1}^l A_k = e^{\sum_{k=1}^l \ln A_k} $.

[DeBill]

_hum_ в сообщении #1464460 писал(а):

найти главный член асимптотики разложения при $\sigma \to 0$ суммы

$$S_{l_o, \mu, \sigma}(l) =\sum_{k=1}^{l}\ln \dfrac{1-\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}{\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}, \quad \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$$

??????

-- 25.05.2020, 20:51 --

Мне кажется, это именно что сумма, причем - сумма логарифмов...
Или я что то не понял?

[_hum_]

DeBill в сообщении #1465020 писал(а):

Мне кажется, это именно что сумма, причем - сумма логарифмов...

Не так поняли. Связь между вероятностью и суммой следующая: $p_l = e^{S_{l_o, \mu, \sigma}(l)}$

[vicvolf]

_hum_ в сообщении #1464572 писал(а):

в общем инженерная задача такая: есть заданная система управления (светофорами), на которую воздействует случайный шум (случайные колебания транспортного потока). Надо оценить, как хорошо будет работать такая система в зависимости от ее параметров и параметров шума. Оказалось, что эта задача сводится к задаче оценке равновесного распределения вероятностей для марковского процесса, точнее, процесса неоднородного случайного блуждания. Я нашел формулы для него, но они очень громоздкие для прямого анализа (там куча произведений и сумм). Вот я и подумал, может, можно свести произведения к сумме (через логарифм), а сумму к интегралу. В итоге бы получилась аналитическая зависимость, которую можно было бы уже методами аналитического анализа исследовать. (Чем плохи численные расчеты - они, в отличие от аналитических, не гарантируют, что нет других ситуаций, в которых все будет по-другому.). В итоге я пришел к формуле, связывающей сумму с интегралом - формуле Эйлера-Маклорена, но как избавиться от остатка не смог придумать. Тогда появилась идея, оставить в разложении только значимые для расчета слагаемые, например, которые бы при малой $\sigma$ (которая в реальности, действительно, мала), давали бы основной вклад в сумму. Вот и захотел получить главный член асимптотики...

Разумно. Но вот при $\sigma \to 0$ функция Лапласа стремится к 1 и логарифм отношения $x \to -\infty$, поэтому $e^{\sum {\log x}} \to 0$. Поэтому, мне кажется, Вас должна интересовать асимптотика при $\sigma \to \infty$, т.е. при больших сигма. В случае $\sigma \to \infty$ значение $x \to 0$ и $e^{\sum {\log x}} \to 1$, т.е члены с большим сигма дают больший вклад.

[_hum_]

vicvolf в сообщении #1465141 писал(а):

Но вот при $\sigma \to 0$ функция Лапласа стремится к 1 и логарифм отношения $x \to -\infty$, поэтому $e^{\sum {\log x}} \to 0$.

Не совсем так. Аргументом функции является $ (u - \mu)/\sigma$, а потому даже при очень малых $ \sigma$ для значений $u$ из достаточно малой окрестности $\mu$ логарифм отношения не будет вести себя как бесконечно большая величина. Грубо говоря, в этом случае распределение вероятностей просто станет более острым, стремящемся сосредоточится на одном-единственном значении.

vicvolf в сообщении #1465141 писал(а):

Поэтому, мне кажется, Вас должна интересовать асимптотика при $\sigma \to \infty$, т.е. при больших сигма.

Поскольку это инженерная задача, то меня интересует асимптотика, которая соответствует реальности - а в реальности $\sigma$ как раз-таки мала :)