Остаток в формуле суммирования Эйлера - Маклорена

[_hum_]

В формуле Тейлора число слагаемых автоматически дает информацию о порядке остатка (в o-нотации). В формуле же Эйлера - Маклорена ничего похоже пока не нашел. Проводить пошаговую оценку остатка в интегральной форме - та еще морока в моем случае, потому как функция сильно не элементарная. Может, кто наведет на мысль? Заранее спасибо.

[Brukvalub]

_hum_ в сообщении #1463975 писал(а):

В формуле Тейлора число слагаемых автоматически дает информацию о порядке остатка (в o-нотации).

Это как? При аргументах, достаточно далеких от центра разложения, как в формуле Эйлера-Маклорена?

[_hum_]

Brukvalub
Не совсем понял, что такое "центр разложения" применительно к формуле Эйлера-Маклорена. Там же не функция приближается, а одно-единственное число.

Просто кажется, если есть приближение в виде ряда, то естественно ожидать, что члены этого ряда убывают с порядковым номером, а тогда возможно, есть какая-то оценка сверху для общего случая, как быстро они убывают.

[SomePupil]

_hum_ в сообщении #1463975 писал(а):

Проводить пошаговую оценку остатка в интегральной форме - та еще морока в моем случае, потому как функция сильно не элементарная. Может, кто наведет на мысль?

Вы все-таки функцию привели бы. Всяко будет более конструктивно.

[novichok2018]

Оценка остатка в формуле Эйлера-Маклорена - название параграфа в книге Бурбаки. ФДП.

[vicvolf]

_hum_ в сообщении #1463975 писал(а):

потому как функция сильно не элементарная.

Это очень интересно, а как с интегралом? Ведь она должна быть достаточно гладкая https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0 ... 0%B5%D0%BD

[_hum_]

SomePupil, vicvolf
Вот полная задача:
найти главный член асимптотики разложения при $\sigma \to 0$ суммы

$$S_{l_o, \mu, \sigma}(l) =\sum_{k=1}^{l}\ln \dfrac{1-\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}{\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}, \quad \Phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t$$

где $ l < l_o \in \mathbb{N}, \, 0< \mu < 1,\, 0 < \sigma < 1$.

novichok2018
Спасибо. Но, во-первых, мне Бурбаки ну очень сложно читать (слишком абстрактно написано, куча алгебраических абстракций смешанных с анализом и все это без пояснений сути), а во-вторых, в том параграфе, где идет речь про разложение, ничего подходящего для себя не заметил. Буду благодарен, если тыкнете носом :)


А вообще, я уже умаялся с этой оценкой. Даже что-то Wolfram Mathematica (которая эти громоздкие выражения для производных хоть как-то помогает "ворочать" и оценивать) глючит и дает несуразные ответы

[Vince Diesel]

Для фиксированного $l$ математика и асимптотику посчитает, команда Series.

[vicvolf]

1. Значит Вас интересует не остаток а асимптотика.
2.Функция достоточно гладкая, поэтому условия для формулы Эйлера-Маклорена выполняются.
3. Учитывая, что функция под знаком суммы монотонная и с ростом $l$ стремится к нулю, асимптотика следующая:

$\int_{k=1}^{l}\log {(\dfrac{1-\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}{\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)})dk+C+O(\log(\dfrac{1-\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}{\Phi\bigg(\dfrac{\frac{k}{l_o} - \mu}{\sigma}\bigg)}))$, где $C$ - постоянная.

[novichok2018]

Про Бурбаков - мне тоже абстрактное не по нутру и тд. Но есть две совершенно понятные и замечательные книги, вот как раз ФДП и исторические очерки. Зря Вы на неё так. Там есть много конкретных вопросов анализа и формул, которых нигде больше нет или очень трудно найти.
Вашу сумму - может попробовать преобразовать до применения всего, учитывая, что ф. Лапласа стремится к 1 , и попробовать $\ln(1-x)$ в единице поточнее приблизить?
Попробуем через двусторонние неравенства.

$$ S=\sum \ln(1/f_k-1)=\ln\prod (1/f_k-1), \frac{1}{f_l}<\frac{1}{f_k}<\frac{1}{f_1}. $$

Следовательно,

$$ l \ln(\frac{1}{f_l}-1) < S < l \ln(\frac{1}{f_1}-1) . $$

После подстановки функции Лапласа, этого не будет достаточно, асимптотики не сомкнуться при $\sigma\to 0$? Это возможно, так как ф. Лапласа при больших значениях почти не меняется.

[SomePupil]

_hum_,

$1-\Phi(x)=\frac12\operatorname{erfc}\left(x/\sqrt{2}\right),$ если $\operatorname{erfc}(x)$ понимать в смысле https://dlmf.nist.gov/7.2. Далее:

$$\operatorname{erfc}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)=e^{-\frac{x^2}2}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,x}-\frac1{\sqrt{2\pi}\,x^3}+\ldots\right),$$

что согласуется с https://dlmf.nist.gov/7.12. Соответственно, если взять главный член асимптотики и прологарифмировать, то получится

$$\ln\left(e^{-x^2}\left(\frac1{\sqrt{2\pi}\,x}+O\left(\frac1{x^3}\right)\right)\right)=-x^2+\ln\left(\frac1{\sqrt{2\pi}\,x}+O\left(\frac1{x^3}\right)\right)$$

так что главный член асимптотики - просто квадрат. Естественно, надо будет взять еще произведение, поскольку у вас сумма логарифмов, и подровнять константы согласно подстановке.

[novichok2018]

последние два совета согласуются со сказанным " - может попробовать преобразовать до применения всего"...
Можно в предложенные выше неравенства подставить асимптотики от SomePupil, не надо будет рассматривать уже пройденный шаг с произведением. В любом случае, лучшая асимптотика - это двусторонние неравенства.

[vicvolf]

_hum_ в сообщении #1464460 писал(а):

SomePupil, vicvolf
Вот полная задача: найти главный член асимптотики разложения при $\sigma \to 0$ суммы

novichok2018 в сообщении #1464517 писал(а):

В любом случае, лучшая асимптотика - это двусторонние неравенства.

А где в двухстороннем неравенстве асимптотика и ее главный член?

[novichok2018]

Понятно, что границы неравенства должны давать одинаковую асимптотику. А асимптотические разложения без оценки остатка - это шарлатанство.

[_hum_]

vicvolf в сообщении #1464497 писал(а):

3. Учитывая, что функция под знаком суммы монотонная и с ростом $l$ стремится к нулю, асимптотика следующая

Не совсем понял вашу мысль. Во-первых, с ростом $l$ функция $S_{l_o, \mu, \sigma}(l)$ (если речь о ней) в общем случае не стремится к нулю, а во-вторых, мне нужен главный член асимптотики, и из вашего разложения (тоже не совсем понятно, откуда взявшегося) я его не вижу [на всякий случай, под главным членом асимптотики для функции $f$ я понимаю ненулевую функцию $g$, такую, что $ f = g + o(g)$ ]

novichok2018 в сообщении #1464501 писал(а):

Про Бурбаков - мне тоже абстрактное не по нутру и тд. Но есть две совершенно понятные и замечательные книги, вот как раз ФДП и исторические очерки. Зря Вы на неё так. Там есть много конкретных вопросов анализа и формул, которых нигде больше нет или очень трудно найти.

Я имел в виду, что ее очень трудно читать тому, кто не является глубоко профессиональным математиком с хорошей мат. базой по абстрактной математике (той же абстрактной алгебре). Если вам близки они по духу, не могли бы вы подсказать, вот этот результат в упражнении 1 (в книге Бурбаки "ФДП" от 1965 года, в параграфе "Оценка остатка в формуле Эйлера-Маклорена", п."2. Приложение к асимптотическим разложениям"):

(pic)

касается любой функции или в оговоренных выше в параграфе условиях? И если для любых, не подскажете, где можно его отдельно найти в качестве утверждения, чтобы сослаться (или, может, если он доказывается в одно-два действия, подсказать, как его получить)? Кажется, мой случай можно под него подвести...

Насчет неравенства...Если честно, не хочется заниматься изобретением колеса. Хочется взять известные формулы и получить результат (на самом деле мне эта асимптотика нужна для решения более интересной инженерной задачи. Соответственно, не хочется значительную часть статьи посвящать промежуточным математическим выкладкам).

SomePupil
Мне кажется, здесь упускается из виду, что соответствующие асимптотики при $x \to \infty$. У меня же $x = (u - \mu)/\sigma$. То есть, чтобы пользоваться асмптотиками, мне нужно будет еще налагать условия на порядок малости $(u - \mu)$ по сравнению с $\sigma$, чего бы очень не хотелось.

Vince Diesel в сообщении #1464490 писал(а):

Для фиксированного $l$ математика и асимптотику посчитает, команда Series.

Я тоже так думал. Но Mathematica мне дает какую-то чушь:

(pic)