Возникла такая мысль.
Я говорил эту мысль 3 страницы назад.
Рассмотрим поле рациональных рациональных функций от 100 переменных

. Присоединим к этому полю квадратные корни из всех переменных. Получится расширение

степени

. Оно будет расширением Галуа (например потому что это поле разложения).
Рассмотрим произведение сумм

со всевозможными расстановками знаков

, только при

всегда

. Оно инвариантно относительно всех

автоморфизмов расширения (то есть отностельно каждой замены

на

), поэтому принадлежит основному полю

. Более того, каждый из множителей цел, значит, произведение тоже. Значит, оно есть многочлен от

с целыми коэффициентами. (Менее наукообразно: когда будем раскрывать скобки в произведении, знаменателям взяться неоткуда, ни знаменателям-числам, ни знаменателям -- рациональным функциям).
Так решается вышеупомянутая задача с Тургора. Про многофокусные эллипсы -- то же самое, только надо

вместо

.
Книжка: ван дер Варден, "Алгебра", глава 6 "Теория полей" и 8 "Теория Галуа".
(Кусочек)Странно, что не 16 кусков - все варианты расстановки знаков

. Значит, 12 вариантов невозможны, как, например, очевидный случай со всеми минусами (

). Невозможность остальных 11 --- ещё один вопрос.
Там 3 корня, поэтому вариантов расстановки 8, а не 16.
Почему, например, невидима кривая

(корни неотрицательные)? Потому что из этого следует

, а на самом деле оно

.