Рационализация уравнения 4-эллипсов

[novichok2018]

Определим $n$--эллипс как обобщение обычного эллипса, но с $n$ фокусами: это линия, для точек на которой сумма расстояний до заданных $n$ точек (фокусов) постоянна, то есть

$$ r_1+r_2+\cdots+r_n=\operatorname{const}. $$

В учебниках в уравнении для обычного 2--эллипса показано, как избавиться от корней возведениями в квадрат и привести уравнение к полиноминальному, каноническому (хотя часто эту теорему доказывают не до конца корректно). Несложно для 3--эллипса тремя возведениями в квадрат избавиться от корней и свести уравнение к полиноминальному.
Вопрос 1: можно избавиться от корней и свести к полиноминальному уравнение для 4-эллипса, то есть

$$ r_1+r_2+r_3+r_4=\operatorname{const}? $$

Сразу не видно, при попытке группировать и возводить в квадрат корни размножаются быстрее, чем уничтожаются.
Вопрос 2: есть общая теория, как проверить, что данное явное уравнение линии может быть сведено к полиноминальному уравнению или рациональной параметризации?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1463875 писал(а):

Вопрос 2: есть общая теория, как проверить, что данное явное уравнение линии может быть сведено к полиноминальному уравнению или рациональной параметризации?

Данное --- это какое? Если задачу формализовать должным образом, то ответ положительный. Наличие рациональной параметризации --- это кривые рода ноль, но есть нюансы, связанные с полем коэффициентов.

Что касается избавления от квадратных корней: чтобы они не размножались, нужно все собрать в левой части и домножить на всевозможные сопряженные (попробуйте догадаться, что это; подсказка: сопряженным к $a+b\sqrt{c}$ будет $a-b\sqrt{c}$). После раскрытия скобок квадратные корни волшебным образом исчезнут.

[novichok2018]

Мне кажется, что домножениями на сопряженные корни все не убить. При возведениях в квадрат суммы корней они опять начнут размножаться. Давайте начнём

$$ c-r_1-r_2-r_3-r_4=0. $$

На что домножить, чтобы число корней уменьшилось?
Если понимать сопряжённый как то же выражение, но с последним плюсом, но на один уничтоженный корень придут шесть новых
Другое - это кривые рода ноль? Как это проверить?

[Утундрий]

Возможно, имелись в виду выражения со всеми вариантами выбора знаков перед радикалами.

И ещё можно (б.о.о.) положить $c=1$, чтобы поменьше букв таскать.

[Slav-27]

Я тоже так думаю. Сопряжённых у этой штуки шестнадцать.

(Если знаете теорию Галуа: сопряжённые -- это элементы той же самой орбиты группы Галуа; произведение всех элементов орбиты инвариантно, следовательно, принадлежит основному полю.)

[Someone]

novichok2018 в сообщении #1463895 писал(а):

Давайте начнём

$$ c-r_1-r_2-r_3-r_4=0. $$

Я буду возведениями в квадрат.
$r_1=c-r_2-r_3-r_4$
$r_1^2=c^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2-2cr_2-2cr_3-2cr_4+2r_2r_3+2r_2r_4+2r_3r_4$
$r_2(2c-2r_3-2r_4)=c^2-r_1^2+r_2^2+r_3^2+r_4^2-2cr_3-2cr_4+2r_3r_4$
Возведя обе части в квадрат и раскрыв скобки, избавимся от $r_2$.
Затем всё, содержащее $r_3$ в нечётной степени, переносим налево, остальное — направо, слева выносим $r_3$ за скобку, возводим в квадрат. Из всех корней остаётся только $r_4$.

Разумеется, это чрезвычайно громоздко, но этот метод работает для любого числа квадратных корней.

[novichok2018]

Someone - спасибо, а я вот не мог догадаться.
Остался вопрос: сам факт рационализации или рациональной параметризации -можно установить ничего не считая для этого класса кривых? Есть такая наука?

[Slav-27]

Как быстро понять, будет ли у ваших "эллипсов" рациональная параметризация, лично я не знаю (но надеяться я бы не стал).

Как понять медленно (коэффициенты комплексные): написать полиномиальное уравнение $f(x,y)=0$, $f$ неприводим (то есть не раскладывается на множители). Найти особые точки (то есть такие $x,y$, что $f=f'_x=f'_y=0$). Если их нет, то род $g=\frac{(d-1)(d-2)}2$, где $d$ степень многочлена $f$ (это формула, выражающая род через степень). Рациональность равносильна $g=0$.

Если есть особые точки, то каждая вносит некоторую поправку в вышеприведённое выражение для $g$. В принципе для каждой конкретной кривой всё это алгоритмически считается, но общий случай сильно муторен.

-- 19.05.2020, 19:31 --

Наличие рациональной параметризации (рациональность) -- намного более сильное требование, чем наличие полиномиального уравнения (алгебраичность). Грубо говоря, любое уравнение кривой, составленное с помощью арифметических операций и корней (любой натуральной степени) приводится к полиномиальному домножением на что-то ненулевое. Более того, если уравнение с корнями понимать в том смысле, что точка принадлежит кривой $\Longleftrightarrow$ её координаты удовлетворяют уравнению при некотором выборе значений каждого из входящих в уравнение корней (для разных точек допускается разный выбор), то любое такое уравнение эквивалентно полиномиальному, в том смысле что задаёт то же множество точек (комплексных, следовательно, и вещественных). Это доказывается в теории расширений полей.

[novichok2018]

Можно дать такую переформулировку задачи на языке уравнений. Дано n уравнений вида

$$ (x-x_k)^2+(y-y_k)^2=b_k=r_k^2, \ \ 1\leq k \leq n, $$

где $x,y$ - неизвестные, $x_k,y_k$ - известные числа, $b_k$ - параметры. Нужно исключить из этой системы параметры $b_k$, получить полиноминальное уравнение для $x,y$ без этих параметров.
Такая задача исключения возможно решена в алгебре в общем виде? Или допускает компьютерное решение? Если да - то можно опробовать компьютерное решение для $n=3,4$?

P.S. Если интересно, то этим кривым была посвящена первая научная работа Максвелла, он даже описывал приспособления для их построения. Я когда-то давал студентам просто графики порисовать на компьютере для различного расположения полюсов и параметра - тоже интересные картинки получаются. Можно даже придумать некоторые приложения этих кривых, пусть надуманные и декларативные, как, к сожалению, и большинство заявляемых приложений математики. Расстояния между городами, оптимальное расположение дорог, нефтепроводов, точки и сети Штейнера и что-то подобное.

-- 20.05.2020, 08:57 --

Slav-27 цитата: Грубо говоря, любое уравнение кривой, составленное с помощью арифметических операций и корней (любой натуральной степени) приводится к полиномиальному домножением на что-то ненулевое.... Это доказывается в теории расширений полей.
Посоветуйте, где про в точности этот факт можно прочитать в понятном и самом простом изложении.

[g______d]

novichok2018 в сообщении #1464058 писал(а):

Такая задача исключения возможно решена в алгебре в общем виде? Или допускает компьютерное решение?

g______d в сообщении #1404075 писал(а):

Я думаю, ситуация может проясниться, если прочитать главу "Теория исключений" книги Кокс, О'Ши, Литтл, "Идеалы, многообразия и алгоритмы".

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464058 писал(а):

Дано n уравнений вида

$$ (x-x_k)^2+(y-y_k)^2=b_k=r_k^2, \ \ 1\leq k \leq n, $$

где $x,y$ - неизвестные, $x_k,y_k$ - известные числа, $b_k$ - параметры. Нужно исключить из этой системы параметры $b_k$, получить полиноминальное уравнение для $x,y$ без этих параметров.

Все-таки лучше вот так формализовать: даны уравнения

$$(x-x_k)^2+(y-y_k)^2=r_k^2 \quad (k=1,\dots,n)$$

и еще одно уравнение $r_1+\ldots+r_n=c$, где $x$, $y$ и все $r_k$ --- переменные (неизвестные), а все $x_k$, $y_k$ и $c$ --- коэффициенты (данные константы). Требуется составить полиномиальное уравнение $P(x,y)=0$, исключив все переменные $r_k$.

С помощью результанта (очень простая конструкция; можно прочитать у Винберга, Алгебра многочленов, учебное пособие для заочников пединститутов) процесс исключения происходит так. Пусть $f_k=(x-x_k)^2+(y-y_k)^2-r_k^2$ и $g=r_1+\ldots+r_n-c$. Последовательно вычисляем $R_1=Res(f_1,g,r_1)$ и $R_j=Res(f_j,R_{j-1},r_j)$ для $j=2,\dots,n$. Искомый многочлен $P$ равен $R_n$.

Вот конкретный пример, посчитанный с помощью Maple.

> f[1]:=x^2+y^2-r[1]^2:f[2]:=(x-1)^2+y^2-r[2]^2:
> f[3]:=x^2+(y-1)^2-r[3]^2:
> g:=r[1]+r[2]+r[3]-3:
> R[1]:=resultant(f[1],g,r[1]):
> R[2]:=resultant(f[2],R[1],r[2]):
> R[3]:=resultant(f[3],R[2],r[3]):

Вот что получим в качестве $R_3$ (искомый многочлен):

(Оффтоп)

2025-4140*x^2-4140*y^2+3240*x+3240*y-2952*x*y^2+1872*x*y+3628*x^2*y^2-2952*x^2*y-2376*x^3+1782*x^4+1782*y^4-2376*y^3+944*x^2*y^3+440*x^4*y-708*x^4*y^2-864*x^3*y-708*x^2*y^4-864*x*y^3+944*x^3*y^2+440*x*y^4-72*y^5*x^2-72*y^3*x^4-24*x^6*y+54*x^4*y^4+36*x^6*y^2+160*x^3*y^3+36*x^2*y^6+80*x^5*y+80*x*y^5-236*x^6+504*x^5-236*y^6+504*y^5-24*y^7+9*x^8+9*y^8-24*x^7-72*x^5*y^2-72*x^3*y^4-24*x*y^6:

(увы, полностью здесь не помещается). Следующий код рисует саму кривую:

> with(algcurves):
> plot_real_curve(R[3],x,y);

Из картинки видно, что кривая состоит из четырех кусков, и исходной геометрической задаче отвечает только один из них.

[novichok2018]

nnosipov - спасибо! Есть способ разобраться по картинке, какой кусок соответствует случаю со всеми плюсами в исходном соотношении? Хочется сказать, что это кусок, который лежит внутри всех остальных, так?
Странно, что не 16 кусков - все варианты расстановки знаков $\pm$. Значит, 12 вариантов невозможны, как, например, очевидный случай со всеми минусами ($c>0$). Невозможность остальных 11 --- ещё один вопрос. Для эллипса помогает неравенство треугольника исключить лишнее, тут не знаю.

P.S. Интересная ссылка по теме, спасибо за неё Andrei Martínez-Finkelshtein.
n-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem.
Author(s): Junpei Sekino
Source: The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 3 (Mar., 1999), pp. 193-202.
Published by: Mathematical Association of America.
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2589675 .

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464079 писал(а):

Есть способ разобраться по картинке, какой кусок соответствует случаю со всеми плюсами в исходном соотношении?

Не уверен, что это возможно алгебраическими средствами (скорее уверен в обратном).

novichok2018 в сообщении #1464079 писал(а):

Странно, что не 16 кусков - все варианты расстановки знаков $\pm$.

Здесь a priori восемь, так как $n=3$. Случай $n=4$ Maple, мне кажется, не потянул бы (в смысле нарисовать картинку).

[Утундрий]

Забавно, что все неправильные кривые не выпуклы.

[nnosipov]

Для меня самое забавное, как Maple вообще все это может нарисовать. Было бы интересно узнать, что за алгоритм там реализован.