Рационализация уравнения 4-эллипсов

[novichok2018]

dmd - а что такое Булево интегрирование, простите за невежество. И спасибо! Но конечно, я имел в виду точные формулы, как идеальный результат. Вряд ли возможно и для площади, и для длины.

[novichok2018]

Возникла такая мысль. Если перемножить все выражения вида

$$ \pm r_1 \pm r_2 \pm \cdots -c=0, $$

то похоже, что все выражения будут только в чётных степенях, то есть это и будет полиноминальное уравнение для всего этого куста кривых. Для $n=2,3$ это так. Вот бы ещё это доказать и заодно найти коэффициенты этого полинома.

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464318 писал(а):

Вот бы ещё это доказать

Школьная задачка, легко доказывается по индукции.

Вот пример подобной задачи (XIX Турнир Городов, 1997/1998). Перемножаются все выражения вида

$$\pm \sqrt{1} \pm \sqrt{2} \pm \ldots \pm \sqrt{100}$$

(при всевозможных комбинациях знаков). Докажите, что результат является а) целым числом; б) квадратом целого числа.

[novichok2018]

Тогда это самый быстрый способ получить полиноминальное уравнение, наверное. И коэффициенты полинома тоже просто находятся?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464329 писал(а):

И коэффициенты полинома тоже просто находятся?

Что значит просто? Вычисление результантов --- это вычисление определителей.

[novichok2018]

Перемножение восьми скобок для $n=3$ намекает на коэффициенты, схожие с биноминальными в каком-то порядке, возможно.
Для нахождения коэффициентов при перемножении скобок, надеюсь, результанты не нужны, может без них можно обойтись?

[nnosipov]

novichok2018 в сообщении #1464336 писал(а):

Для нахождения коэффициентов при перемножении скобок, надеюсь, результанты не нужны

Нет, конечно. Но нужно понять, какие скобки с какими перемножать. В общем, будет такой рекуррентный процесс. Удастся ли получить коэффициенты в каком-нибудь замкнутом виде, мне неизвестно.

[dmd]

novichok2018 в сообщении #1464295 писал(а):

dmd - а что такое Булево интегрирование, простите за невежество. И спасибо! Но конечно, я имел в виду точные формулы, как идеальный результат. Вряд ли возможно и для площади, и для длины.

(Оффтоп)

Затрудняюсь ответить, сам лишь недавно узнал про этот способ интегрирования после лекций Вилдбергера.
Было б интересно узнать, присутствует ли объяснение этого способа интегрирования в учебных программах.

Картинка с его лекции:

т.е. точное определение знакоориентированной площади сегмента возле кривой возможно только для параболы.

[Slav-27]

novichok2018 в сообщении #1464318 писал(а):

Возникла такая мысль.

Я говорил эту мысль 3 страницы назад.

Рассмотрим поле рациональных рациональных функций от 100 переменных $\mathbb Q(a_1,...,a_{100})$. Присоединим к этому полю квадратные корни из всех переменных. Получится расширение $\mathbb Q(\sqrt{a_1},...,\sqrt{a_{100}}):\mathbb Q(a_1,...,a_{100})$ степени $2^{100}$. Оно будет расширением Галуа (например потому что это поле разложения).

Рассмотрим произведение сумм $\sum\limits_{i=1}^{100}\pm\sqrt{a_i}$ со всевозможными расстановками знаков $\pm$, только при $\sqrt {a_1}$ всегда $+$. Оно инвариантно относительно всех $2^{100}$ автоморфизмов расширения (то есть отностельно каждой замены $\sqrt{a_i}$ на $-\sqrt{a_i}$), поэтому принадлежит основному полю $\mathbb Q({a_1},...,{a_{100}})$. Более того, каждый из множителей цел, значит, произведение тоже. Значит, оно есть многочлен от $a_1,...,a_{100}$ с целыми коэффициентами. (Менее наукообразно: когда будем раскрывать скобки в произведении, знаменателям взяться неоткуда, ни знаменателям-числам, ни знаменателям -- рациональным функциям).

Так решается вышеупомянутая задача с Тургора. Про многофокусные эллипсы -- то же самое, только надо $\mathbb R(x,y)$ вместо $\mathbb Q$.

Книжка: ван дер Варден, "Алгебра", глава 6 "Теория полей" и 8 "Теория Галуа".

(Кусочек)

novichok2018 в сообщении #1464079 писал(а):

Странно, что не 16 кусков - все варианты расстановки знаков $\pm$. Значит, 12 вариантов невозможны, как, например, очевидный случай со всеми минусами ($c>0$). Невозможность остальных 11 --- ещё один вопрос.

Там 3 корня, поэтому вариантов расстановки 8, а не 16.

Почему, например, невидима кривая $\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}-\sqrt{x^2+(y-1)^2}=3$ (корни неотрицательные)? Потому что из этого следует $\sqrt{x^2+y^2}-\sqrt{(x-1)^2+y^2}>3$, а на самом деле оно $\leqslant 1$.

[novichok2018]

Slav-27 - трудно Вас понять без должной подготовки в алгебре, буду стараться. Кусочек последний Вы решили удалить?
nnosipov - подумаю с индукцией, спасибо.

[Slav-27]

novichok2018 в сообщении #1464409 писал(а):

без должной подготовки в алгебре

Вам нужна последняя теорема из § 57 (по моему изданию):

Цитата:

Если элемент $\alpha$ поля $\Sigma$ остаётся неподвижным при всех подстановках из группы Галуа поля $\Sigma$, то есть переводится всеми подстановками в себя, то основное поле $K$ содержит $\alpha$.

novichok2018 в сообщении #1464409 писал(а):

Кусочек последний Вы решили удалить?

Вернул на место (после его написания я заметил ваше сообщение http://dxdy.ru/post1464098.html#p1464098, к которому мой кусочек почти ничего нового не добавляет).

[Slav-27]

http://math.ucsd.edu/~njw/PUBLICPAPERS/kellipse_imaproc_toappear.pdf
Вот тут много чего посчитано.

Цитата:

The polynomial equation defining the $k$-ellipse has degree $2^k$ if $k$ is odd and degree $2^k-{k\choose{k/2}}$ if $k$ is even. We express this polynomial equation as the determinant of a symmetric matrix of linear polynomials.

[kotenok gav]

Значит, уравнение для 3-эллипсов таки решабельно в эллиптических функциях.

-- 22 май 2020, 03:23 --

А уравнение для 4-эллипсов вообще квадратное, что ли?...

[Slav-27]

kotenok gav в сообщении #1464453 писал(а):

А уравнение для 4-эллипсов вообще квадратное, что ли?...

Нет, конечно, это у меня скопировалось криво (исправил).

[kotenok gav]

kotenok gav в сообщении #1464453 писал(а):

Значит, уравнение для 3-эллипсов таки решабельно в эллиптических функциях.

Тогда таки нет (но решабельно в других).