Задача на конденсатор с двумя диэлектриками

[Solaris86]

Условие задачи
Одна часть плоского конденсатора заполнена водой, другая глицерином. Во сколько раз поверхностная плотность связанных зарядов одного диэлектрика больше, чем другого?
Ответ приведите для двух случаев расположения воды и глицерина (рис. 4.3, а и б).

Ответ к задаче из этого же учебника:
а) Напряжённости электрического поля в диэлектриках различны, поэтому пользуемся формулой $\sigma_\text{св} = \varepsilon_0( \varepsilon_r - 1) \cdot \frac{E_0}{E_r}$, где $E_0$ - напряжённость поля, которое создавалось бы в вакууме свободными зарядами. Искомое соотношение $\frac{\sigma'_{\text{в воде}}}{\sigma'_{\text{в глицерине}}} = 1.01$;
б) напряжённость электрического поля в обоих диэлектриках одинакова. Использую формулу 4.7, получаем отношение поверхностных плотностей связанных зарядов, равное 1.9.
Формула 4.7
$P_e = \varepsilon_0( \varepsilon_r - 1) E$

Я так понимаю, что в варианте "а" в каждом слое диэлектрика будет своя напряженность потому что одна и та же поверхностная плотность зарядов пластин $\sigma$ даст у разного диэлектрика разную поверхностную плотность связанных зарядов $\sigma'$.
$E = E_0 - E' = \frac{\sigma - \sigma'}{\varepsilon_0}$
$E = \frac{\sigma}{\varepsilon \varepsilon_0}$
Отсюда $\sigma' = \sigma\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}$
$\varepsilon_{\text{воды}} = 81$
$\varepsilon_{\text{глиц}} = 43$
$\frac{\sigma'_{\text{воды}}}{\sigma'_{\text{глиц}}} = {\frac{81-1}{81}} : {\frac{43-1}{43}} = 1.01$ с ответом совпало.

Вот вариант "б" я не понимаю. Пояснение из ответа, что напряженность электрического поля в обоих диэлектриках одинаковы, для меня вообще не ясна, ведь у них же разная диэлектрическая проницаемость... Как решать вариант "б"?

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны или не набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) - оставьте в виде картинки только собственно картинку, остальное нужно набрать (и заодно поправить уже набранное).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1462180 писал(а):

Вот вариант "б" я не понимаю. Пояснение из ответа, что напряженность электрического поля в обоих диэлектриках одинаковы, для меня вообще не ясна, ведь у них же разная диэлектрическая проницаемость...

Так как речь о конденсаторе (из рисунка ясно, что о плоском кондесаторе), то краевыми эффектами пренебрегаем, а значит напряженность электрического поля:
а) направлена везде перпендикулярно пластинам
б) одинакова (как минимум в области с одним диэлектриком).

Тогда разность потенциалов для части с одним диэлектриком: $U = E d$, где $d$ - расстояние между пластинами.
Но и для части с другим диэлектриком будет точно такая же разность потенциалов. А значит напряженности электрического поля в обоих областях равны.

[DimaM]

Solaris86 в сообщении #1462180 писал(а):

Пояснение из ответа, что напряженность электрического поля в обоих диэлектриках одинаковы, для меня вообще не ясна, ведь у них же разная диэлектрическая проницаемость...

Электростатическое поле потенциально, то есть

$$\oint {\bf E}\cdot d{\bf r}=0.$$

Отсюда сразу следует, что на границе непрерывна тангенциальная компонента $E$. А в вашем втором случае только тангенциальная компонента и есть.

Solaris86 в сообщении #1462180 писал(а):

пользуемся формулой $\sigma_\text{св} = \varepsilon_0( \varepsilon_r - 1) \cdot \frac{E_0}{E_r}$

В приведенном варианте формула некорректна, хотя бы по размерности.

Замечу еще, что такие вот несмешивающиеся слои воды и глицерина представляются мне странным явлением. Взяли бы уж воду и масло...

[Solaris86]

Я напишу, какие вещи вызывают непонимание.
Потенциал и напряжение.
Согласно формуле, потенциал поля бесконечно заряженной пластины
$\varphi = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}|x|$
Тут же вопрос. Согласно формуле потенциала точечного заряда $\varphi = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}$, то есть на самом заряде он равен бесконечности, а на расстоянии бесконечности нулю. Для пластины всё наоборот: на самой платине он равен нулю, а на расстоянии бесконечности равен бесконечности. Как это возможно?
Далее. Потенциал поля конденсатора, состоящего из двух бесконечных разноимённо заряженных пластин.
Положительно заряженную пластину поместим в начало координат: $\varphi_+ = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}|x|$,
$\sigma_+ = \frac{q_+}{S} = \frac{+|q_+|}{S} = \frac{q}{S} = \sigma$
Отрицательно поместим справа на расстоянии $d$: $\varphi_- = -\frac{\sigma-_}{\varepsilon_0}|x-d|$
$\sigma_- = \frac{q_-}{S} = \frac{-|q_-|}{S} = -\frac{q}{S} = -\sigma$
Рассмотрим 5 точек:
1. Слева от положительно заряженной пластины $x = -1$:
$\varphi_1_+ = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}|-1| = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,
$\varphi_1_- = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}|-1-d| = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}(1+d)$,
$\varphi_1 = \varphi_1_+ + \varphi_1_-$
$\varphi_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d= -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d$
2. На положительно заряженной пластине$x = 0$:
$\varphi_2_+ = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}|0| = 0$,
$\varphi_2_- = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}|0-d| = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$,
$\varphi_2 = \varphi_2_+ + \varphi_2_-$
$\varphi_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d$
3. Между пластинами $x = \frac{d}{2}$:
$\varphi_3_+ = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}|\frac{d}{2}| = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\frac{d}{2}$,
$\varphi_3_- = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}|\frac{d}{2}-d| = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}\frac{d}{2}$,
$\varphi_3 = \varphi_3_+ + \varphi_3_-$
$\varphi_3 = 0$
4. На отрицательно заряженной пластине$x = d$:
$\varphi_4_+ = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}|d| = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$,
$\varphi_4_- = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}|d-d| = 0$,
$\varphi_4 = \varphi_4_+ + \varphi_4_-$
$\varphi_4 = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d$
5. Справа от отрицательно заряженной пластины $x = d+1$:
$\varphi_5_+ = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}|d+1| = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}(d+1)$,
$\varphi_5_- = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}|d+1-d| = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$,
$\varphi_5 = \varphi_5_+ + \varphi_5_-$
$\varphi_5 = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d$
Рассмотрим разность потенциалов между точками:
1.$U_{12} = \varphi_1 - \varphi_2 = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d - (-\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d) = 0$
2.$U_{13} = \varphi_1 - \varphi_3 = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d - 0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
3.$U_{14} = \varphi_1 - \varphi_4 = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d - (-\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d) = 2\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
4.$U_{15} = \varphi_1 - \varphi_5 = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d - (-\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d) = 2\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
5.$U_{23} = \varphi_2 - \varphi_3 = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d - 0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
6.$U_{24} = \varphi_2 - \varphi_4 = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d - (-\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d) = 2\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
7.$U_{25} = \varphi_2 - \varphi_5 = -\frac{\sigma_-}{\varepsilon_0}d - (-\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d) = 2\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
8.$U_{34} = \varphi_3 - \varphi_4 = 0 - (-\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
9.$U_{35} = \varphi_4 - \varphi_5 = 0 - (-\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$
10. $U_{45} = \varphi_4 - \varphi_5 = -\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d - (-\frac{\sigma_+}{\varepsilon_0}d) = 0$

Вопросы:
1. Согласно формуле $U = Ed$ и формуле $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ напряжение между обкладками конденсатора должно быть $U = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$.
При подсчётах выше через потенциал получается $U = 2\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$.
Как это может быть?
2. За пределами конденсатора поля нет, $E = 0$, откуда получается там ненулевой потенциал, равный потенциалу на ближайшей платине конденсатора, если считать через формулу $\varphi = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}|x|$ и принцип суперпозиции?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1462586 писал(а):

Для пластины всё наоборот: на самой платине он равен нулю, а на расстоянии бесконечности равен бесконечности. Как это возможно?

Потенциал определен с точностью до константы.
Для поля точечного заряда удобно выбрать такую константу, чтобы потенциал на бесконечности был равен нулю.

Для поля бесконечно пластины также можно определить потенциал так, чтобы он был равен нулю на бесконечности. Но тогда бесконечности будет равен потенциал самой пластины:
а) это не должно вызывать удивления, так как у бесконечно пластины с конечной равномерной плотностью заряда суммарный заряд бесконечен.
б) это не позволит анализировать, что же происходит вблизи пластины. Поэтому в этом случае потенциал определяют так, чтобы он был равен нулю на самой пластине.

-- 14.05.2020, 11:14 --

Solaris86 в сообщении #1462586 писал(а):

1. Согласно формуле $U = Ed$ и формуле $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ напряжение между обкладками конденсатора должно быть $U = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$.
При подсчётах выше через потенциал получается $U = 2\frac{\sigma}{\varepsilon_0}d$.
Как это может быть?

Поле внутри конденсатора создается двумя пластинами с плотностьями заряда $\pm\sigma$ поэтому поле между обкладками будет равно: $E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} - \frac{-\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0}$

-- 14.05.2020, 11:19 --

Solaris86 в сообщении #1462586 писал(а):

2. За пределами конденсатора поля нет, $E = 0$, откуда получается там ненулевой потенциал, равный потенциалу на ближайшей платине конденсатора, если считать через формулу $\varphi = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}|x|$ и принцип суперпозиции?

Было бы странно. если наоборот - то есть, если бы потенциал менялся при нулевом поле.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1462606 писал(а):

Поле внутри конденсатора создается двумя пластинами с плотностьями заряда $\pm\sigma$ поэтому поле между обкладками будет равно: $E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} - \frac{-\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{2\sigma}{\varepsilon_0}$

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$
$E = E_1 + E_2 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} - \frac{-\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$
Наверное, в том источнике, где я смотрел, ошибка, должно быть всё-таки так для заряженной пластины: $\varphi = -E|x| = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}|x|$

EUgeneUS в сообщении #1462606 писал(а):

Было бы странно. если наоборот - то есть, если бы потенциал менялся при нулевом поле.

Давайте так. Пусть у нас есть пространство абсолютно без зарядов, пустое. В нем, соответственно, $E = 0$ и $\varphi =0$.
Далее это пространство поделили бесконечной положительно заряженной плоскостью на 2 пополупространства. Напряжённость поля везде стала $E_+ = \frac{\sigma_+}{2\varepsilon_0}$ и потенциал $\varphi_+ =-E_+|x| = -\frac{\sigma_+}{2\varepsilon_0}|x|$
Далее правое полупространство поделили бесконечной отрицательно заряженной плоскостью, параллельной положительно заряженной плоскости и расположенной от неё на расстоянии $d$. Напряжённость поля везде стала $E = E_+ + E_-$ и потенциал
$\varphi = \varphi_+ + \varphi_- = -E_+|x| + (-E_-|x-d|) = -(E_+|x| + E_-|x-d|) = -(\frac{\sigma_+}{2\varepsilon_0}|x| + \frac{\sigma_-}{2\varepsilon_0}|x-d|)$
$\sigma_+ = |\sigma_+| = \sigma$
$\sigma_- = -|\sigma_-| = -\sigma$
$\varphi = -(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}|x| - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}|x-d|) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x|-|x-d|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x-d|-|x|)$
При рассмотрении графика функции $f(x) = k(|x-b|-|x|)$ в при значениях $k = 1$ и $b =3$ получаем такой график функции $f(x) = |x-3|-|x|$

Возьмём формулу $\mathbf{E} = -\operatorname{grad}\varphi = -(\mathbf{i}\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \mathbf{j}\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \mathbf{k}\frac{\partial \varphi}{\partial z})$
1. Вне конденсатора:
Слева $x<0$, поэтому $|x-d| = |(-1)(-x+d)|= -x+d$ и $|x| = -x$
$\varphi = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x-d|-|x|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-x+d-(-x)) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}d = \operatorname{const_1}$
Cправа $x>d$, поэтому $|x-d| = x+d$ и $|x| = x$
$\varphi = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x-d|-|x|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(x-d-x) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-d) = \operatorname{const_2}$
$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 0$
$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 0$
$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = 0$
Отсюда $\mathbf{E} = -\operatorname{grad}\varphi = -(\mathbf{i}\cdot0 + \mathbf{j}\cdot0 + \mathbf{k}\cdot0) = \mathbf{0}$ и соответственно $E = |\mathbf{E}| = |\mathbf{0}|= 0$
2. Внутри конденсатора:
$0<x<d$, поэтому поэтому $|x-d| = |(-1)(-x+d)|= -x+d$ и $|x| = x$
$\varphi = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x-d|-|x|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-x+d-x) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_x = -2\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$
$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_y = 0$
$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_z = 0$
Отсюда $\mathbf{E} = -\operatorname{grad}\varphi = -(\mathbf{i}(-\frac{\sigma}{\varepsilon_0}) + \mathbf{j}\cdot0 + \mathbf{k}\cdot0) = \mathbf{i}\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ и соответственно $E = |\mathbf{E}| = |\mathbf{i}|\frac{\sigma}{\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$.
Вопросы:
1. Рассуждения верны?
2. Как формально доказать, что $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_y = 0$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial z} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_z = 0$?
3. В данной ситуации следующие записи для выражения потенциала полностью тождественны?
Вне конденсатора:
$\varphi = \operatorname{const}$
$\varphi(x) = 0x + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(y) = 0y + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(z) = 0z + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(t) = 0t + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(x,y) = 0x + 0y + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(x,z) = 0x + 0z + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(x,t) = 0x + 0t + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(y,z) = 0y + 0z + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(y,t) = 0y + 0t + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(z,t) = 0z + 0t + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(x,y,z) = 0x + 0y + 0z + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
$\varphi(x,y,z,t) = 0x + 0y + 0z + 0t + \operatorname{const} = \operatorname{const}$
Внутри конденсатора:
$\varphi = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(x) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(y) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0y = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(t) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0t = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(x,y) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0y = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(x,z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(x,t) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0t = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(y,z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0y + 0z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(y,t) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0y + 0t = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(z,t) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0z + 0t = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(x,y,z) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0y + 0z = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$
$\varphi(x,y,z,t) =\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3) + 0y + 0z + 0t = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3)$

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1462673 писал(а):

В нем, соответственно, $E = 0$ и $\varphi =0$.

Неточность. $\varphi = \operatorname{const}$

Solaris86 в сообщении #1462673 писал(а):

1. Рассуждения верны?

Рассуждения верны. Есть опечатка в промежуточных выкладках.

Solaris86 в сообщении #1462673 писал(а):

2. Как формально доказать, что $\frac{\partial \varphi}{\partial y} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_y = 0$ и $\frac{\partial \varphi}{\partial z} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_z = 0$?

Что значит "формально доказать"?
Математически строго доказать, что если функция многих переменных $f(x_1, ... x_i, ... x_n)$ не зависит от какой-то из переменных ($x_i$), то $\frac {\partial}{\partial x_i} f \equiv 0$?
Это тривиальный факт, который следует из определения частной производной.

[Solaris86]

EUgeneUS в сообщении #1462676 писал(а):

Неточность. $\varphi = \operatorname{const}$

Я ведь специально взял ситуацию, что зарядов нет. Вообще нигде. Откуда возьмётся ненулевой потенциал?

EUgeneUS в сообщении #1462676 писал(а):

Рассуждения верны. Есть опечатка в промежуточных выкладках.

Можете подсказать, где она?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1462681 писал(а):

Я ведь специально взял ситуацию, что зарядов нет. Вообще нигде. Откуда возьмётся ненулевой потенциал?

Поймите одну простую штуку - мы не можем наблюдать потенциал. Можем наблюдать или электрическое поле, или разность потенциалов между двумя точками.
Потенциал определен с точностью до константы, и в этом нет ничего странного или трагичного - в силу утверждения выше.

Можно, конечно, проговорить волшебные слова (которые часто опускаются): выберем константу таким образом, чтобы $\varphi(\infty)=0$. Тогда действительно во всем пустом пространстве будет $\varphi=0$.
Но, как показал пример с бесконечными заряженными пластинами, это не всегда возможно.

Solaris86 в сообщении #1462681 писал(а):

Можете подсказать, где она?

могу. Тут:

Solaris86 в сообщении #1462673 писал(а):

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = (\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-2x+3))'_x = -2\frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = -\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$

[Solaris86]

Если не сложно, прокомментируйте мой третий вопрос

Solaris86 в сообщении #1462673 писал(а):

3. В данной ситуации следующие записи для выражения потенциала полностью тождественны?

Идём дальше.
В описанной мной ситуации, где есть только 2 заряженные пластины в вакууме, будем иметь следующее: это поле сформировано только свободными зарядами, так как мы условно считаем, что в проводнике, из которого сделаны пластины, есть только свободные заряды.
Отсюда получаем: $\mathbf{D} = \varepsilon_0\mathbf{E}$
Если я правильно понимаю, в данном случае эти векторы в каждой точке пространства коллинеарны и сонаправлены, отличаются лишь длиной в $\varepsilon_0$ раз.
И вот дальше начинается самое непонятное.
Помещаем между обкладками конденсатор с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$. В диэлектрике есть только связанные заряды. Фрагмент из учебника Савельева
plenty of fish wilmington nc
Обозначим:
$E_0$ - напряжённость поля, создаваемого свободными и связанными зарядами пластин
$E'$ - напряжённость поля, создаваемого свободными и связанными зарядами диэлектрика
$E$ - результирующая напряжённость поля
$D_0$ - индукция поля, создаваемого свободными зарядами пластин
$D'$ - индукция поля, создаваемого свободными зарядами диэлектрика
$D$ - результирующая индукция поля
Имеем:
$\mathbf{E} = \mathbf{E_0} + \mathbf{E'}$ и соответственно $E = E_0 - E'$
$\mathbf{D} = \mathbf{D_0} + \mathbf{D'} = \mathbf{D_0} + \mathbf{0} = \mathbf{D_0}$ и соответственно $D = D_0$
Поверхности пластин эквипотенциальны. Поверхности диэлектрика также эквипотенциальны.
Расстояние между платиной конденсатора и границей диэлектрика $l$
Введём обозначения:
$\varphi_\text{лпк}$ - потенциал левой пластины конденсатора ($x=0$)
$\varphi_\text{ппк}$ - потенциал правой пластины конденсатора ($x=d$)
$\varphi_\text{лгд}$ - потенциал левой границы диэлектрика ($x=l$)
$\varphi_\text{пгд}$ - потенциал правой границы диэлектрика ($x=d-l$)
Ранее была формула потенциала любой точки пространства пространства, который создаётся зарядами конденсатора:
$\varphi_\text{к} = \varphi_\text{к}_+ + \varphi_\text{к}_- = -E_0_+|x| + (-E_0_-|x-d|) = -(\frac{\sigma_+}{2\varepsilon_0}|x| + \frac{\sigma_-}{2\varepsilon_0}|x-d|) = -(\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}|x| - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}|x-d|) = -\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x|-|x-d|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x-d|-|x|)$
Найдём формулу для потенциала любой точки пространства, который создаётся зарядами диэлектрика:
$\varphi_\text{д} = \varphi_\text{д}_+ + \varphi_\text{д}_- = -E'_+|x-d+l| + (-E'_-|x-l|) = -(\frac{\sigma'_+}{2\varepsilon_0}|x-d+l| + \frac{\sigma'_-}{2\varepsilon_0}|x-l|) = -(\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}|x-d+l| - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}|x-l|) = -\frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(|x-d+l|-|x-l|) = \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(|x-l|-|x-d+l|)$
Тогда результирующий потенциал любой точки пространства будет:
$\varphi = \varphi_\text{к} + \varphi_\text{д} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|x-d|-|x|) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(|x-l|-|x-d+l|)$
Найдём значений следующих потенциалов:
$\varphi_\text{лпк} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|0-d|-|0|) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(|0-l|-|0-d+l|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}d + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(l-d+l) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}d + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(2l-d)$
$\varphi_\text{ппк} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|d-d|-|d|) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(|d-l|-|d-d+l|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-d) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-l-l) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-d) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-2l)$
$\varphi_\text{лгд} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|l-d|-|l|) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(|l-l|-|l-d+l|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(d-l-l) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(l-d+l) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(d-2l) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(2l-d)$
$\varphi_\text{пгд} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(|d-l-d|-|d-l|) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(|d-l-l|-|d-l-d+l|) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(l-d+l) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-2l) = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(2l-d) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-2l)$
Найдём следующие разности потенциалов:
$U_{\text{лпк}|\text{ппк}} = \varphi_\text{лпк} - \varphi_\text{ппк} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}d + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(2l-d) - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-d) - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-2l) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}d - \frac{\sigma'}{\varepsilon_0}d + 2\frac{\sigma'}{\varepsilon_0}l = E_0d - E'(d-2l)$
$U_{\text{лгд}|\text{пгд}} = \varphi_\text{лгд} - \varphi_\text{пгд} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(d-2l) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(2l-d) - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(2l-d) - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-2l) = (\frac{\sigma}{\varepsilon_0} - \frac{\sigma'}{\varepsilon_0})(d-2l) = (E_0-E')(d-2l)$
$U_{\text{лпк}|\text{лгд}} = \varphi_\text{лпк} - \varphi_\text{лгд} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}d + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(2l-d) - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(d-2l) - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(2l-d) = 2\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}l = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}l = E_0l$
$U_{\text{пгд}|\text{ппк}} = \varphi_\text{пгд} - \varphi_\text{ппк} = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(2l-d) + \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-2l) - \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}(-d) - \frac{\sigma'}{2\varepsilon_0}(d-2l) = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}l = E_0l$
Просуммируем напряжения:
$U_{\text{лпк}|\text{лгд}} + U_{\text{лгд}|\text{пгд}} + U_{\text{пгд}|\text{ппк}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}l = E_0l + (E_0-E')(d-2l) + E_0l = E_0d - E'(d-2l) = U_{\text{лпк}|\text{ппк}}$
Далее построим график функции $f(x) =k_1(|x-b_1|-|x|) + k_2(|x-b_2|-|x-b_1+b_2|)$ при значениях $k_1 = 1$, $k_2 = 0.9$, $b_1=3$ и $b_2 = 0.5$


Вопросы:
1. Верны ли рассуждения?
2. Верен ли график (в том числе линейная зависимость потенциала от координаты внутри диэлектрика)?
3. Учитываются в задачах зазоры между пластинами конденсатора и диэлектриком и, если диэлектриков несколько, зазоры между диэлектриками?
4. В любых зазорах внутри конденсатора (зазоры между пластиной и диэлектриком, зазоры между разными диэлектриками) напряжённость поля равна той, что формируется только зарядами пластин конденсатора $E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1462732 писал(а):

Если не сложно, прокомментируйте мой третий вопрос
Solaris86 в сообщении #1462673

писал(а):
3. В данной ситуации следующие записи для выражения потенциала полностью тождественны?

Беда там какая-то написана.

1. Если мы говорим, что потенциал определен с точностью до константы, то значит и пишем эту константу везде, что вне конденсатора, что внутри.
2. Чтобы не заниматься бесполезной писаниной константы, проговаривают (вслух или про себя) волшебные слова, про определение этой константы. В случае плоских бесконечных пластин можно считать потенциал одной из них ноль, или другой, или взять эквипотенциальную плоскость по середине между пластинами и сказать, что потенциал её - ноль... В вашей записи константа становится нулем, если потенциал первой пластины берем за ноль. Судя по графику за ноль взят потенциал плоскости в середине между пластинами конденсатора
3. Откуда у Вас $t$ взялось? Насколько понимаю, это время. Если есть время, то это уже контейнерные перевозки электродинамика, а не электростатика. Всё становится сильно сложнее.
4. Не очень понимаю разное количество аргументов в функции. Что это должно обозначать?

можно записать так $\varphi = \varphi(\vec{r})=\varphi(x, y, z)$
Первое равенство означает "потенциал является функцией от точки в пространстве (и больше не от чего)". Второе равенство означает, что точку в пространстве можно определить через декартовы координаты. Тогда "потенциал является функцией от декартовых координат точки в пространстве (и больше не от чего)". Это верно в общем случае в электростатике, но не в электродинамике!

Далее можем записать так: $\varphi = \varphi(\vec{r})=\varphi(x, y, z) = \varphi(x)$.
Последнее равенство означает: так-то потенциал есть функция от всех трех пространственных координат (слева), но в рамках данной задачи он зависит только от координаты $x$ (справа).
Остальные варианты я не понимаю.

-- 14.05.2020, 18:43 --

Solaris86 в сообщении #1462732 писал(а):

Обозначим:

Не очень понимаю, зачем вводить обозначения, отличные от введенных Савельевым, раз мы его читаем. Принципиальной ошибки нет, но это же усложняет восприятие и запутывает.

Solaris86 в сообщении #1462732 писал(а):

1. Верны ли рассуждения?

Подробно выкладки не проверял.

Solaris86 в сообщении #1462732 писал(а):

2. Верен ли график (в том числе линейная зависимость потенциала от координаты внутри диэлектрика)?

Да, верен (для рассмотренного случая). Опять же - качественно верен, числа не проверял.

Solaris86 в сообщении #1462732 писал(а):

3. Учитываются в задачах зазоры между пластинами конденсатора и диэлектриком и, если диэлектриков несколько, зазоры между диэлектриками?

Да, учитываются, если они имеют значения. Например, (для плоского конденсатора) если их величина сравнима с величиной расстояния между пластинами.

Solaris86 в сообщении #1462732 писал(а):

4. В любых зазорах внутри конденсатора (зазоры между пластиной и диэлектриком, зазоры между разными диэлектриками) напряжённость поля равна той, что формируется только зарядами пластин конденсатора $E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$?

В общем случае - нет, конечно. В случае бесконечного плоского конденсатора с бесконечной пластиной диэлектрика постоянной толщины между пластинами - да.

[Solaris86]

И ещё вопрос: верна ли будет картинка из учебника Савельева, если её адаптировать для двух диэлектриков?

[EUgeneUS]

Solaris86 в сообщении #1462758 писал(а):

И ещё вопрос: верна ли будет картинка из учебника Савельева, если её адаптировать для двух диэлектриков?

да.
А что за ссылка прицепилась вместе с картинкой?