Ограниченные решения

[pogulyat_vyshel]

Дана система дифференциальных уравнений $\dot x=v(t,x),\quad x\in\mathbb{R}^m$, Правая часть -- гладкая функция в $\mathbb{R}^{m+1}$, причем

$$|v(t,x)|\le c_1+c_2|x|,\quad v(t+1,x)=v(t,x).$$

Известно, что система имеет решение $\tilde x(t)$ определенное при $t\ge 0$ и ограниченное: $\sup_{t\ge 0}|\tilde x(t)|<\infty.$
Доказать, что существует решение $x_*(t)$ определенное при $t\in\mathbb{R}$ и $\sup_{t\in\mathbb{R}}|x_*(t)|<\infty$.

[demolishka]

Утверждение остается справедливым, если предполагать только, что функция $v$ непрерывна (т. е. без всяких оценок и, в частности, продолжимости и единственности) и почти периодична по $t$ равномерно по $x$ из компактов.

[sup]

demolishka в сообщении #1460256 писал(а):

Утверждение остается справедливым, если предполагать только, что функция $v$ непрерывна (т. е. без всяких оценок и, в частности, продолжимости и единственности) и почти периодична по $t$ равномерно по $x$ из компактов.

А непрерывность зачем? Может откажемся?

[pogulyat_vyshel]

demolishka в сообщении #1460256 писал(а):

Утверждение остается справедливым, если предполагать только, что функция $v$ непрерывна (т. е. без всяких оценок и, в частности, продолжимости и единственности) и почти периодична по $t$ равномерно по $x$ из компактов.

а, ну да, так тоже можно

[demolishka]

sup в сообщении #1460261 писал(а):

Может откажемся?

В некоторых случаях наверное можно. Но я в эту сторону не осведомлен

[sup]

Да, ничего особенного. Микроскопическое усиление. Можно отказаться от непрерывности $v(t,x)$ по $t$. Достаточно какой-нибудь ограниченности на компактах. Что-нибудь в этом роде.
Просто я подумал, что если Вы решили "серьезно" усилить утверждение, то можно было еще и непрерывность немножко ослабить.

[ArtemPML30]

Решение, которое легко обобщается на случай более слабого условия.

Довольно известная лемма: любое решение такого уравнения определенно в любой момент времени. Действительно, $|x'| \leq a|x|+b$, $|x|'=x' \cdot \frac{x}{|x|}$, откуда $||x|'| \leq |x'|$, откуда $||x|'| \leq a|x| + b$, ну и отсюда мы получаем экспоненциальную оценку сверху модуля, а непродолжимое решение покидает любой компакт.

Теперь само решение: есть ограниченное при $t \geq 0$ решение $u$ с $u(0) = r$. Рассмотрим решения с $u(-1) = r$, $u(-2) = r, \ldots$ При $t \geq 0$ они равномерно ограничены и равностепенно непрерывны $\Rightarrow$ есть частичный предел, который, очевидно, ограничен при вещественном $t$.

Написал ещё ночью, меня отправили в карантин и до сих пор не убрали, хотя я и исправил. Надеюсь, это ничего не нарушает.