Решение, которое легко обобщается на случай более слабого условия.
Довольно известная лемма: любое решение такого уравнения определенно в любой момент времени. Действительно,

,

, откуда

, откуда

, ну и отсюда мы получаем экспоненциальную оценку сверху модуля, а непродолжимое решение покидает любой компакт.
Теперь само решение: есть ограниченное при

решение

с

. Рассмотрим решения с

,

При

они равномерно ограничены и равностепенно непрерывны

есть частичный предел, который, очевидно, ограничен при вещественном

.
Написал ещё ночью, меня отправили в карантин и до сих пор не убрали, хотя я и исправил. Надеюсь, это ничего не нарушает.