Решение, которое легко обобщается на случай более слабого условия.
Довольно известная лемма: любое решение такого уравнения определенно в любой момент времени. Действительно,
,
, откуда
, откуда
, ну и отсюда мы получаем экспоненциальную оценку сверху модуля, а непродолжимое решение покидает любой компакт.
Теперь само решение: есть ограниченное при
решение
с
. Рассмотрим решения с
,
При
они равномерно ограничены и равностепенно непрерывны
есть частичный предел, который, очевидно, ограничен при вещественном
.
Написал ещё ночью, меня отправили в карантин и до сих пор не убрали, хотя я и исправил. Надеюсь, это ничего не нарушает.