2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ограниченные решения
Сообщение02.05.2020, 19:11 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Дана система дифференциальных уравнений $\dot x=v(t,x),\quad x\in\mathbb{R}^m$, Правая часть -- гладкая функция в $\mathbb{R}^{m+1}$, причем
$$|v(t,x)|\le c_1+c_2|x|,\quad v(t+1,x)=v(t,x).$$
Известно, что система имеет решение $\tilde x(t)$ определенное при $t\ge 0$ и ограниченное: $\sup_{t\ge 0}|\tilde x(t)|<\infty.$
Доказать, что существует решение $x_*(t)$ определенное при $t\in\mathbb{R}$ и $\sup_{t\in\mathbb{R}}|x_*(t)|<\infty$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченные решения
Сообщение05.05.2020, 06:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
914
матмех спбгу
Утверждение остается справедливым, если предполагать только, что функция $v$ непрерывна (т. е. без всяких оценок и, в частности, продолжимости и единственности) и почти периодична по $t$ равномерно по $x$ из компактов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченные решения
Сообщение05.05.2020, 07:02 
Заслуженный участник


22/11/10
1177
demolishka в сообщении #1460256 писал(а):
Утверждение остается справедливым, если предполагать только, что функция $v$ непрерывна (т. е. без всяких оценок и, в частности, продолжимости и единственности) и почти периодична по $t$ равномерно по $x$ из компактов.

А непрерывность зачем? Может откажемся? :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченные решения
Сообщение05.05.2020, 10:44 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
demolishka в сообщении #1460256 писал(а):
Утверждение остается справедливым, если предполагать только, что функция $v$ непрерывна (т. е. без всяких оценок и, в частности, продолжимости и единственности) и почти периодична по $t$ равномерно по $x$ из компактов.

а, ну да, так тоже можно

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченные решения
Сообщение05.05.2020, 15:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
914
матмех спбгу
sup в сообщении #1460261 писал(а):
Может откажемся? :wink:

В некоторых случаях наверное можно. Но я в эту сторону не осведомлен :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченные решения
Сообщение06.05.2020, 05:07 
Заслуженный участник


22/11/10
1177
Да, ничего особенного. Микроскопическое усиление. Можно отказаться от непрерывности $v(t,x)$ по $t$. Достаточно какой-нибудь ограниченности на компактах. Что-нибудь в этом роде.
Просто я подумал, что если Вы решили "серьезно" усилить утверждение, то можно было еще и непрерывность немножко ослабить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Ограниченные решения
Сообщение26.04.2021, 17:22 


16/04/18
3
Решение, которое легко обобщается на случай более слабого условия.

Довольно известная лемма: любое решение такого уравнения определенно в любой момент времени. Действительно, $|x'| \leq a|x|+b$, $|x|'=x' \cdot \frac{x}{|x|}$, откуда $||x|'| \leq |x'|$, откуда $||x|'| \leq a|x| + b$, ну и отсюда мы получаем экспоненциальную оценку сверху модуля, а непродолжимое решение покидает любой компакт.

Теперь само решение: есть ограниченное при $t \geq 0$ решение $u$ с $u(0) = r$. Рассмотрим решения с $u(-1) = r$, $u(-2) = r, \ldots$ При $t \geq 0$ они равномерно ограничены и равностепенно непрерывны $\Rightarrow$ есть частичный предел, который, очевидно, ограничен при вещественном $t$.

Написал ещё ночью, меня отправили в карантин и до сих пор не убрали, хотя я и исправил. Надеюсь, это ничего не нарушает.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group