Почему 3.14 ?

[Sonic86]

Господи, какой ужас!!! Что это за вопрос такой - "почему"? Вы либо что-то от нас скрыли и не хотите говорить, либо попробуйте уточнить (эксплицировать) свой вопрос в математических терминах - он окажется бессмысленным или неописываемым в таких терминах.

[Sonic86]

Хотя нет! Беру свои слова обратно - Бодигрим высказал трезвую мысль - фантазер, однако.
Грубо говоря, у нас есть множество равносильных определений числа $\pi$, притом довольно разных. Мы должны определить, какие из них сохраняются при изменении аксиом, а какие - нет.
К примеру, $\pi$ - отношение длины окружности к диаметру. А что такое окружность - множество равноудаленных от центра точек, а равноудаленных - находящимся на одинаковом расстоянии. А как определяется расстояние?! В $R^n$ - как корень степени $\alpha$ из суммы степеней $\alpha$, причем $\alpha>=1$. Меняя $\alpha$ от 1 до $+\infty$ получаем разные окружности, а с ними - и разные длины. В результате $\pi$ меняется от $sqrt{2}$ до 4. Так что общеизвестное $\pi=L/d$ - не инвариант от обощенной евклидовой метрики. С другой стороны, если мы попытаемся определить синус и косинус в такой обобщенной метрике, то новые синус и косинус будут представлять собой лишь $sin^{1/\alpha} x$ и $cos^{1/\alpha} x$. Так что "$\pi$ - минимальный положительный корень уравнения $sinx=0$" - более фундаментально. С красивой формулой Эйлера дело обстоит намного хуже. $R$ - единственное поле, которое при добавлении в него $i$ становится алгебраически замкнутым. К примеру, - для поля $p$-адических чисел такого элемента нет - там их надо континуум для алгебраической замкнутости. Не получится там определение $\pi$ и через ряд для арктангенса, так как он не сходится: $ord_p (2n+1)$ - неограниченно. И вообще, Коблиц писал в "$p$-адическом анализе", что там аналогов вещественных трансцендентных чисел нет. С другой стороны, там есть экспонента Артина-Хассе, но я с ней обращаться не умею
Интересно, а как обстоит дело с $\pi$ в геометрии Лобачевского?
Кстати, есть общеизвестный фольклор о том, каковы будут траектории планет, если изменить показатель у $r$ в законе тяготения - там такие красивые розочки получаются

Добавлено спустя 1 час 19 минут 58 секунд:

Кстати, не надо думать, будто $\pi$ можно определять "независимо от аксиом". Только его "аналоги". Лично мне вполне мыслится система, где действуют 2 аналога числа $\pi$ с различными значениями

[bot]

Sonic86 писал(а):

Лично мне вполне мыслится система, где действуют 2 аналога числа $\pi$ с различными значениями

А далеко и ходить не надо - где-то видел ссылку, что в одном из штатов оф юнайтид стейтс не так давно законодатели приняли поправку к этому числу, изменив его значение с 4 на 3.

Добавлено спустя 55 секунд:

Интересно, в какой метрике они это считали?

[BoBuk]

geomath писал(а):

Скажите, у вас нет ощущения, что вблизи $0.68$ должна быть какая-то константа? А то близкие к этому значения попадаются мне постоянно - настолько, что я стал обращать на это внимание. Что-то вроде $1 - 1/\pi = 0.68...$ или типа действительного корня уравнения $x^3 + x - 1 = 0$:
$x = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} = 0.68232780$.

Есть ощущения. Ощущений много.

No=0.6732159718000000000000000000000000;
f[x_]:=N[(x^x)^(No^x),35];

Это число, примерно 0.6732159718

В приведённом выражении два экстремума: в области 0 -- 1 и 1 -- oo.
Значения:
(0 -- 1)
x = 0.3184816090455357449929280;
y = 0.7252365968765267947328686;
(1 -- oo)
x = 4.26861114549207793897267;
y = 3.13989872973303383741735;

1/x в области 0--1 соответствует y в области 1--oo
Отсюда
\pi_i = 3.1398987297

Разумеется, это не \pi, но что тогда?

[Pi]

Да, $\pi$ связанно с геометрией. Если мы расмотрим геометрию на шаре, то там $\pi$ бкдет равно 2. Другой вопрос почему в эвклидовой плоской геометрии $\pi$=3,14....?

[AlexDem]

Pi в сообщении #145996 писал(а):

Если мы расмотрим геометрию на шаре, то там $\pi$ будет равно 2.

Это как получилось?

[Pi]

Да потомучто там диаметер это тот же сектор круга что и сам круг.

[AlexDem]

Не всегда. Только если мы будем рассматривать большие окружности, экватор, например...

[BoBuk]

Вопрос прозвучит слишком кощунственно для многих. А именно: возможно ли, чтобы число π отличалось от значения, вычисляемого, скажем, с помощью ряда Лейбница или формулы Виета?

Я насчитал более 80 формул, с помощью которых вычисляется число π. Не все из них эстетически безупречны (как ряд Лейбница, формула Виета и интеграл Гаусса).
Полистепенные функции "выдают" ряд замечательных чисел. Среди них и число π. Но с изрядной ложкой дёгтя.
...Может быть это совсем другое число, но его значение 3.1399 "слегка" отличается от классического 3.1415

[photon]

BoBuk в сообщении #179137 писал(а):

Я насчитал более 80 формул, с помощью которых вычисляется число

Формулы ж не с потолка берутся, а доказываются, поэтому должны давать одинаковый результат

[PAV]

PAV:

Слито с идентичной темой

[BoBuk]

photon писал(а):

Формулы ж не с потолка берутся, а доказываются, поэтому должны давать одинаковый результат

Согласен, не с потолка. Например f(x) = x^(x^(N^x)) , при N = e, т.е. 2.7182818.
Экстремум данной функции близок к числу Пи (к обратному значению числа Пи), но им не является. Но близок.
Как говорится, "раки мелкие, но по три, а вчера были большие, но по пять".

[photon]

Вы путаете близость значения и доказательность точного равенства.

[BoBuk]

photon писал(а):

Вы путаете близость значения и доказательность точного равенства.

Я ничего не путаю. И совсем не пытаюсь опровергнуть значение отношения длины окружности к диаметру. Я говорю только об одном, а именно: о том, что существует такое число, которое имеет значение, близкое к числу Pi. Что значит это число, понятия не имею. Но оно существует. И получается из довольно-таки простых полистепенных функций.

[Someone]

BoBuk в сообщении #179181 писал(а):

существует такое число, которое имеет значение, близкое к числу Pi. Что значит это число, понятия не имею. Но оно существует.

Их там целый континуум существует. И что? О каждом спрашивать, "что оно значит"?

Кстати, число $\pi$ записывается так:

$\pi$