Пуста ли кривая 1+x^2+x^4+y^4+2*y^2-x^3*y+x*y^3+7*x*y+2*x^2*

[nnosipov]

Volik в сообщении #1459235 писал(а):

Может, то что при подстановке в исходное уравнение $y=\frac{1}{\sqrt{2}}-t (x+\frac{1}{\sqrt{2}})$ получаем произведение квадрата линейного двучлена на квадратный трехчлен $(x+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 P(x)=0$ с отрицательным дискриминантом $D(P(x))= -6 (9 t^4-4 t^3+18 t^2+4 t+9) (t-1)^2<0$, при вещественных t, и есть доказательством "двухточечности" действительной части кривой?

Я имел в виду более бесхитростное рассуждение, но и это тоже, конечно, сойдет за доказательство. (Просто a priori эти две точки неизвестны, их ведь тоже надо было как-то найти.)

[dmd]

(Оффтоп)

Она же

$4 (2 x^2 - x y + 2 y^2 + 1)^2 - 4 (x y - 4 y^2 - 15)^2 + (8 y^2 + 31)^2 - 49 = 0$.

Интересно, такие пары разностей квадратов параметризуются?

[Volik]

Спасибо. Пока ограничусь своим примитивным вариантом. Эта кривая была "лишним" множителем в моих копаниях и теперь могу ее отбросить.
А приведение ее к виду разности двух пар квадратов тоже интересно!

[scwec]

Исходная кривая над $\mathbb{C}$ бирационально эквивалентна эллиптической кривой с уравнением $w^2=(u+3)(u+6)(u-9)$.
Ранг этой кривой ноль, а точки кручения $(-3,0), (-6,0), (9,0)$. Других рациональных точек (кроме $\infty$) на ней нет.
Отсюда следует, что исходная кривая, например, несёт на себе "рациональные" точки $(0,-i), (2i,i),(-2i,-i),\infty$.
Из бирациональной эквивалентности двух указанных кривых следует также, что род исходной кривой равен 1.
Всё это из Maple и Pari.

[Volik]

Два спасибо:
1) что в очередной раз напомнили о пользе формы Вейерштрасса Постараюсь разобраться;
2) За комментарии по поводу решений. Тоже попробую переварить необходимость рассмотрения и комплексных решений.
А пока не могу найти в этой форме соответствие тем двум вещественным точкам исходной прямой!

[scwec]

$(u,w)=\infty$ при указанных вещественных $x,y$.
Следует из формул Maple.

[Volik]

И еще спасибо! Я еще не полностью разобрался с Weierstrassform. Ваша подсказка поможет.