Пуста ли кривая 1+x^2+x^4+y^4+2*y^2-x^3*y+x*y^3+7*x*y+2*x^2*

[Volik]

Доброго всем дня! Для кривой $1+x^2+x^4+y^4+2 y^2-x^3 y+x y^3+7 x y+2 x^2 y^2 = 0$ Maple (implicitplot) дает пустой график. Поэтому я и кривую назвал пустой, но под вопросом. Дело в том что genus дает что ее род 1, то есть это эллиптическая кривая и на ней есть по крайней мере одна рациональная точка.
Но мои попытки найти хотя бы действительную точку ничего не дали. Для всех проверенных мной действительных $x, y$ получается комплексным!
Вопросы:
1) Действительно ли кривая не имеет рациональных точек?
2) Как это доказать или пример действительной точки,
3) Если она действительно пуста, то почему genus дает что ее род 1?
Заранее благодарен за пояснения

P.S. Это опять из почти рациональных кубоидов!

[Markiyan Hirnyk]

Ответ на второй вопрос: координаты точек $\left(\frac 1 {\sqrt 2},-\frac 1 {\sqrt 2}\right)$ и $\left(-\frac 1 {\sqrt 2},\frac 1 {\sqrt 2}\right)$ удовлетворяют уравнению ${x}^{4}-{x}^{3}y+2\,{x}^{2}{y}^{2}+x{y}^{3}+{y}^{4}+{x}^{2}+7\,xy+2\,{ y}^{2}+1=0 $. Согласно Вики, указанное Вами уравнение не является уравнением эллиптической кривой.

[Volik]

Спасибо!! Осталось понять, почему график пустой и почему genus дает род 1.
В той же Википедии пишут: "Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку."
А может график состоит из этих 2 точек , как $x^2+y^2=0$ из одной $x=y=0$ и Maple их не отображает?

[Markiyan Hirnyk]

Цитата:

В той же Википедии пишут: "Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку."

Ваше утверждение не соответствует действительности, его нет в статье "Эллиптическая кривая" русскоязычной версии Вики.

Цитата:

А может график состоит из этих 2 точек , как $ $x^2+y^2=0$ из одной $x=y=0$ и Maple их не отображает?

Да.

[Volik]

Почему то мой вчерашний ответ пропал, может я что то не так сделал, поэтому повторю.
Еще спасибо, но насчет цитаты из Вики я прав! См. Алгебраическая кривая.

[Markiyan Hirnyk]

Процитирую это место полностью:

Цитата:

Пересечение двух коник является кривой четвёртого порядка рода 1, а значит, эллиптической кривой, если содержит хотя бы одну рациональную точку. В противном случае пересечение может быть рациональной кривой четвёртого порядка с особенностями, или быть разложимым на кривые меньшего порядка (кубика и прямая, две коники, коника и две прямые или четыре прямые).

[Volik]

Совсем запутался! Рациональных точек нет. Разложения на какую нибудь комбинацию коник и/или прямых не видно. Что же это за кривая?

[Aritaborian]

Volik в сообщении #1459189 писал(а):

Рациональных точек нет.

Как это их нет, если вам сказали, что они есть?

Markiyan Hirnyk в сообщении #1458851 писал(а):

а второй вопрос: координаты точек $\left(\frac 1 {\sqrt 2},-\frac 1 {\sqrt 2}\right)$ и $\left(-\frac 1 {\sqrt 2},\frac 1 {\sqrt 2}\right)$ удовлетворяют уравнению

Другое дело, что на действительной плоскости эта кривая, похоже, состоит только из них. Если попробовать увеличивать правую часть уравнения, то из точек появляется уже настоящая кривая. Неужто вы не пробовали?

[nnosipov]

Подбавим диссонанса: вот на кривой $y^3+3xy^2-x^3-3x^2-3xy-3y^2+3=0$ тоже нет ни одной рациональной точки, ну и что? Зато она на вещественной плоскости тоже как бы не очень ... кривая. Ну, бывает.

Volik
С чем конкретно у Вас проблемы? Сформулируйте четко противоречие.

[Volik]

А кто сказал, что есть рациональные точки? Тем более что Вы сами пишете что возможно она имеет только две действительные точки, причем иррациональные! И наконец, зачем увеличивать правую часть уравнения, то есть рассматривать не кривую, а семейство кривых? Среди них заведомо будут и рациональные и эллиптические и т.д.
А уравнение $y^3+3 x y^2 -x^3-3 x^2 3 x y -3 y^2 +3=0$ не добавляет диссонанса. Maple и на графике показывает 3 пересекающиеся прямые и в явном виде представляет ее как их произведение (думаю что и в ручную не сложно найти эти прямые). А genus дает отрицательный род $-2$, поясняя "Warning, negative genus so the curve is reducible".
А основные вопросы:
1)Как доказать что кривая состоит из двух изолированных точек (комплексные поверхности не рассматриваю)?
2)Почему genus дает для нее род $+1$)

[Aritaborian]

Volik в сообщении #1459210 писал(а):

А кто сказал, что есть рациональные точки? Тем более что Вы сами пишете что возможно она имеет только две действительные точки, причем иррациональные!

Я сказал, меня бейте. Меня можно, я непрофессионал и вообще тупой. Но насчёт того, что в вещественной плоскости эта кривая — две точки, но нужно пошевелить параметр, я ж был прав, а вы хныкали, что программа вам, дескать, ничо не показывает.

[Volik]

Сомневаюсь в пользе "шевеления параметра" Каждое изменение параметра дает другую кривую! Как это может помочь?

[EXE]

Насчёт “параметра”. Из 3d видно, что собой представляет кривая на плоскости XOY, когда значение “параметра” (или координаты Z) равно 1.

[nnosipov]

Volik в сообщении #1459210 писал(а):

А основные вопросы:
1)Как доказать что кривая состоит из двух изолированных точек (комплексные поверхности не рассматриваю)?
2)Почему genus дает для нее род $+1$)

По поводу 1) --- ну уж Вы решите как-нибудь эту детскую задачку Подсказка: найдите минимум левой части уравнения (для этого существует стандартная процедура, применение которой с помощью Maple будет вполне комфортным).

По поводу 2) --- я уже Вам говорил в других темах: род алгебраической кривой --- понятие сложное, чтобы его освоить, нужно суровые книжки по алгебраической геометрии читать. Оставьте Вы его в покое до лучших времен. Maple сказал 1, значит 1 и все.

[Volik]

Спасибо, но мне ничего не видно из 3d.
Может, то что при подстановке в исходное уравнение $y=\frac{1}{\sqrt{2}}-t (x+\frac{1}{\sqrt{2}})$ получаем произведение квадрата линейного двучлена на квадратный трехчлен $(x+\frac{1}{\sqrt{2}})^2 P(x)=0$ с отрицательным дискриминантом $D(P(x))= -6 (9 t^4-4 t^3+18 t^2+4 t+9) (t-1)^2<0$, при вещественных t, и есть доказательством "двухточечности" действительной части кривой?
Ну а род, бог с ним!