Угол

[A_I]

nnosipov в сообщении #1457741 писал(а):

Если зависимость не слишком сложная, то она будет найдена. Но a priori успех не гарантирован.

Как-то с чего начинали - к тому и пришли ...

[nnosipov]

A_I
Завтра подумаю. Но, кстати, иногда задачу с произвольными (буквенными) углами решить вот таким вот механическим методом проще, чем с конкретными углами. Просто это разные технологии.

[A_I]

Я тоже, (видимо наивно) полагал, что раз задача имеет единственное решение, - то его легко описать алгоритмически..

[nnosipov]

Что можно сделать, не прилагаю особых усилий? Поискать линейную связь (с целыми коэффициентами) между двумя заданными углами и тем третьим, который требуется найти. Так вот, ее, скорее всего, нет (компьютерный поиск в разумных пределах ничего не дал). Намек на это уже был:

wrest в сообщении #1457715 писал(а):

А я вот взял 76, и ответ получился очень нецелый :(

Так что два угла по $78^\circ$ здесь принципиальны. Поскольку круговое поле $\mathbb{Q}$ имеет нетривиальные автоморфизмы, вместо $78$ можно взять и еще что-нибудь, чтобы получился красивый ответ.

Upd. Хотя нет, автоморфизмы сильно меняют картинку (переставляют вершины 6-угольника). Поэтому просто заменяем $78$ на $k$ и перебираем $k$ с $30$ до $89$. И получаем новые картинки с красивыми ответами. Например, $k=42$, $\alpha=12$.

[grizzly]

nnosipov в сообщении #1457801 писал(а):

Поэтому просто заменяем $78$ на $k$ и перебираем $k$ с $30$ до $89$.

Менять $k$ можем только от 60 до 105. При 80, например, получим сплошную равнобедренность и искомый угол 60. Но вот при $k=70$ тоже получим интересное $\alpha=10$. Есть ещё и другие целые, которые меньше удивляют.

[PETIKANTROP]

A_I в сообщении #1457631 писал(а):

Интересная задачка - вроде, не было такой...

Если точка гуляет внутри равностороннего треугольника, вершины которого совпадают с вершинами правильного шестиугольника, то прослеживается связь между суммами углов при его вершинах через одного: 18+18+54=90=42+42+6. Если будем менять размеры углов, то сумма углов через одного должна равняться 90гр. Может быть, я ошибаюсь? Есть этому какое-нибудь доказательство в планиметрии?

[wrest]

grizzly в сообщении #1457813 писал(а):

Менять $k$ можем только от 60 до 105.

Всего 40, пора делать табличку целости решений

[grizzly]

wrest в сообщении #1457816 писал(а):

Всего 40

Ну, плюс-минус где-то так :)

[nnosipov]

grizzly в сообщении #1457813 писал(а):

Есть ещё и другие целые, которые меньше удивляют.

А как же $k=84$, $\alpha=78$? По-моему, не хуже оригинального варианта.

Диапазон изменений $k$ я бы брал пошире. Но полный список интересных значений $k$ в любом случае будет небольшим.

-- Сб апр 25, 2020 15:42:24 --

wrest в сообщении #1457816 писал(а):

Всего 40, пора делать табличку целости решений

Дык, сделано уже. Опубликовать? А с Вас картинки Не все, конечно, а самые симпатичные на Ваш вкус.

-- Сб апр 25, 2020 15:45:21 --

PETIKANTROP в сообщении #1457814 писал(а):

Если точка гуляет внутри равностороннего треугольника, вершины которого совпадают с вершинами правильного шестиугольника, то прослеживается связь между суммами углов при его вершинах через одного: 18+18+54=90=42+42+6. Если будем менять размеры углов, то сумма углов через одного должна равняться 90гр.

Ничего не понял. Можно подробнее?

[grizzly]

nnosipov в сообщении #1457819 писал(а):

А как же $k=84$, $\alpha=78$? По-моему, не хуже оригинального варианта.

Да не хуже. Я видел этот вариант, но подумал, что он идейно симметричен оригинальному. Поэтому не сильно удивился. Хотя, объяснить-то я этого не могу, значит таки да -- тоже удивляет.

[nnosipov]

Вопрос про симметрию хороший. Тут картинки бы порисовать, но мне лень.

[wrest]

nnosipov в сообщении #1457819 писал(а):

А с Вас картинки

Ну я сделал в геогебре калькулятор, но не знаю как поделиться. Движок ездит с дискретом в один градус.

[kotenok gav]

wrest в сообщении #1457824 писал(а):

Ну я сделал в геогебре калькулятор, но не знаю как поделиться.

Там есть возможность сохранить чертеж.

[wrest]

kotenok gav в сообщении #1457825 писал(а):

Там есть возможность сохранить чертеж.

Да, но аттачить его я не могу, надо четез яндекс диск или типа того. Там как-то вроде можно было ссылкой чтобы прямо сайт открывался, но из приложения на планшете я что-то не соображу как.

[nnosipov]

wrest
Спасибо, Вы уже сообщили почти все интересные варианты. Вот список: $(k,\alpha) \in \{(42,12),(48,6),(70,10),(75,30),(78,48),(84,78)\}$. Дальше только с $\alpha=90$.