Цитата:
Итак, полагаю, что такие векторные поля могут быть. А почему бы нет.
Я привела доказательство того, что таких полей НЕТ. Доказательство Вами и никем другим не оспорено. На этом фоне говорить 'почему бы нет' это детский лепет. Потому нет, что доказано, что нет. Точка. Более здесь обсуждать нечего.
Теперь про зануление дивергенции. Я не хочу обсуждать Ваши вопросы 1,2,3, поскольку они иррелевантны конкретной ситуации. В отличие от того, что Вы пишете, уравнение для дивергенции векторного поля имеет вид
. Это принципиальное различие с Вашими формулами, где правая часть от
не зависит.
Теперь еще немного подоказываю. Но прежде давайте дадим определение понятия 'дополнительные ограничения', которые Вы без определения используете. Будем называть дополнительными ограничениями такие, которые уменьшают множество функций, на котором уравнение рассматривается. Иными словами, в нашей ситуации,
Для уравнения
(*) дополнительные ограничения, налагаемые условием
это уравнения, связывающие
и его производные, так, что если
, при
, не удовлетворяет этим условиям, то уравнение
(*) не выполнено, при этом такие функции ЕСТЬ.
Поясняю. Если таких функций, не удовлетворяющих дополнительным ограничениям нет, то и не являются эти ограничения ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ. Они ничего ДОПОЛНИТЕЛЬНО не ограничивают.
Вот, например, ограничение
дополнительным не является. Оно выполненио автоматически, как только
,
ПОнятно определение??
Теперь теорема. Запишем уравнение (10) в виде
, так что
. Тогда при
, условие
НЕ УСТАНАВЛИВАЕТ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ОГРАНИЧЕНИЙ.
Доказательство. Доказываем от противного. Допустим, что дополнительное ограничение есть. Тогда, в соответствии с определением, существует (вектор-) функция
,
, такая, что
. Подставим эту функцию в (10) (как ДОКАЗАНО выше, (10) выполнено для всех функций).
и возьмем дивергенцию
от правой и левой части. Как любезно согласился Козачок, в результате левая часть по-прежнему будет равна правой,
то есть
Итак, мы пришли к противоречию. Мы предположили, что для выбранной функции
,
, а получилось
. Противоречие показывает, что наше предположение о существовании дополнительных ограничений ошибочно, следовательно, дополнительных ограничений нет.
Если Вы хотите оспорить доиказательство, это в Ваших правах. Но до тех пор будем считать, что дополнительных ограничений нет.
Видите, зависимость правой части от функции здесь крайне существенно, поэтому Ваши вопросы к делу отношения не имеют.
Мне представляется, что ситуация с (10)
полностью выяснена.
Теперь вернемся к примеру. Напоминаю, что я предложила векторное поле
(**)
В качестве поля скоростей. Поле удовлетворяет уравнению Эйлера и
уравнению неразрывности. Подставляя это поле в Вашу формулу для дивергенции ускорения, мы получим, если я не провралась в арифметике 6, а не 0.
Почему можно такое поле взять в качестве поля скоростей. Укажу по крайней мере 2 причины. 1. Конструкция, основанная на (10) плюс теорема об отсутствии дополнительных ограничений. 2. Найденная Вами цитата из Лойцянского. Повторяю
Цитата:
(стр. 89, 7-го издания 2003 года)
Цитата:
Следовательно, не всякое поле скоростей может быть создано в идеальной
жидкости, баротропно движущейся под действием потенциального поля
объемных сил, а только такое, которое удовлетворяет равенству (14)
Равенство (14 ) выведено из уравнений Эйлера на той же и предыдущей странице, поэтому поле скоростей , удовлетворяющее уравнениям Эйлера, Лойцянским (как и Эйлером, Бернулли и прочими авторитетами) не запрещается. Мой пример удовлетворяет и уравнению Эйлера, и уравнению неразрывности. Лойцянский такое поле скоростей разрешает. Вы с ним не согласны??
Итак, приступим к анализу примера. Если у Вас есть основания этот пример запрещать, предъявите их. Но только конкретно. Не пойдет 'пример противоречит условиям, вытекающим из уравнения неразрывности'. Если противоречит, напрямую формулируйте эти условия, чтобы все могли проверить.
не равна нулю?
? ![\[
F(\varphi (x,y,z,t)) + Q(\chi (x,y,z,t)) + P(\xi (x,y,z,t)) = C(x,y,z,t)
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/2/f/02fef9a8bf3f96e84598748238f1866e82.png "\[
F(\varphi (x,y,z,t)) + Q(\chi (x,y,z,t)) + P(\xi (x,y,z,t)) = C(x,y,z,t)
\]")
свидетельствует о наличии связи между функциями ![\[
F,Q,P
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/5/3f5d27c524da89a84769d7006a35303482.png "\[
F,Q,P
\]")
? ![\[
\varphi (x,y,z,t), \chi (x,y,z,t), \xi (x,y,z,t)
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/c/5/3c51231ece921a6c9b4a18100f940e6b82.png "\[
\varphi (x,y,z,t), \chi (x,y,z,t), \xi (x,y,z,t)
\]")
. ![\[ F,Q,P \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/1/2/5128d7f0a0b641b9d0dfcfa0f569bd0982.png "\[ F,Q,P \]")
и связи между аргументами ![\[ \varphi (x,y,z,t), \chi (x,y,z,t), \xi (x,y,z,t) \]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/f/9bf2351c8d8626fc9c8e10251643f2f382.png "\[ \varphi (x,y,z,t), \chi (x,y,z,t), \xi (x,y,z,t) \]")
подверглись изменению после наложения ограничения 
![\[
\begin{array}{c}
\dot u_x = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{du_x }}{{dt}} = \frac{{\partial u_x }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}}, \\
\dot u_y = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{du_y }}{{dt}} = \frac{{\partial u_y }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_y }}{{\partial z}}, \\
\dot u_z = \frac{{dz}}{{dt}} = \frac{{du_z }}{{dt}} = \frac{{\partial u_z }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}. \\
\end{array}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/7/f877601bace2f631e2d1686f541a86ae82.png "\[
\begin{array}{c}
\dot u_x = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{du_x }}{{dt}} = \frac{{\partial u_x }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}}, \\
\dot u_y = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{du_y }}{{dt}} = \frac{{\partial u_y }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_y }}{{\partial z}}, \\
\dot u_z = \frac{{dz}}{{dt}} = \frac{{du_z }}{{dt}} = \frac{{\partial u_z }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}. \\
\end{array}
\]")
(10)![\[
\begin{array}{l}
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial t}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }{{\partial x}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }{{\partial y}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }{{\partial z}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}} + } \right. \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}}} \right) \\
\end{array}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/4/f24f5ef7286b814cf8e9457a8e0534c282.png "\[
\begin{array}{l}
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial t}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }{{\partial x}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }{{\partial y}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }{{\partial z}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}} + } \right. \\
+ \left. {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}}} \right) \\
\end{array}
\]")
(11)![\[
\begin{array}{l}
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial t}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }{{\partial x}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }{{\partial y}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }{{\partial z}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right) \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right). \\
\end{array}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/0/91085bfbe755934a8abb9090e4a1f3b082.png "\[
\begin{array}{l}
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}} = \frac{\partial }{{\partial t}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }{{\partial x}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }{{\partial y}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }{{\partial z}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right) \\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right). \\
\end{array}
\]")
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/9/0e99ed590ec5c4d9ce0287951f5aa1fb82.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u
\]")
. Из этой формулы наглядно следует, что наложение ограничения ![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/4/ca436b3b1d015f9391858f6ed7a7b0d082.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = 0
\]")
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u = 0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/3/6/d3654ce7ab409b022971596d23cc95e882.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u = 0
\]")
, а также требуется соблюсти соотношения
![\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}} \\
\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}. \\
\end{array}
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/0/9d014a5f442ffdd693a29f57b0d7d96682.png "\[
\begin{array}{l}
\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} = \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}} \\
\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} = \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}},_{} _{} \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} = \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}. \\
\end{array}
\]")
. Все оттуда же?? Если сумма равна нулю, то равно нулю каждое слагаемое?? (Суперправило Козачка). Или у Вас доказательство есть?? Поделитесь, плиз.![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u=0
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/2/e92db2b5c5ab8dcddb8422f0e05847d782.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u=0
\]")
можно принять ![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u=0
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/c/7/1c781a95135557fe3bb0b6a3bc8cbffa82.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u=0
\]")
, отчетливо видно наличие ограничения в виде
![\[
0= \frac{\partial }{{\partial t}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }{{\partial x}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }{{\partial y}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }{{\partial z}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u +
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right)+\\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right). \\
\end{array}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/5/cf5c3bda0e123cc386147fb8d40df40d82.png "\[
0= \frac{\partial }{{\partial t}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_x \frac{\partial }{{\partial x}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_y \frac{\partial }{{\partial y}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + \dot u_z \frac{\partial }{{\partial z}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u +
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} - \frac{{\partial \dot u_x }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right)+\\
+ \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} - \frac{{\partial \dot u_y }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial x}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_x }}{{\partial x}}} \right) + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial y}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial z}} - \frac{{\partial \dot u_z }}{{\partial z}}\frac{{\partial u_y }}{{\partial y}}} \right). \\
\end{array}
\]")
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/0/31071e0e155f398f85fc286050912c2e82.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u
\]")
соответствуют скорости относительного изменения элементарного объема ![\[
\delta V
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/4/a/64aa8e03328c8accd3e2a4a23477888c82.png "\[
\delta V
\]")
сплошной среды и выражается формулой
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/0/eb016392d812ada34cd6bd4a3fd3c66b82.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}{{dt}}
\]")
(1)
![\[
\delta V_0
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/9/8c929eb896c2acd75280e8a5e634a1ed82.png "\[
\delta V_0
\]")
, который может выбираться с большим произволом
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}{{dt}} = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V - \delta V_0 )}}{{dt}} = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d\left( {\delta V\frac{{\delta V - \delta V_0 }}{{\delta V}}} \right)}}{{dt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/2/622873ba79b0ce07335fe2f9654f7caa82.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}{{dt}} = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V - \delta V_0 )}}{{dt}} = \frac{1}{{\delta V}}\frac{{d\left( {\delta V\frac{{\delta V - \delta V_0 }}{{\delta V}}} \right)}}{{dt}}
\]")
(2)
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\delta V - \delta V_0 }}{{\delta V}}} \right) + \frac{{\delta V - \delta V_0 }}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}{{\delta Vdt}}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/1/21104b261eb0ae405af33a3d762bae7d82.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{d}{{dt}}\left( {\frac{{\delta V - \delta V_0 }}{{\delta V}}} \right) + \frac{{\delta V - \delta V_0 }}{{\delta V}}\frac{{d(\delta V)}}{{\delta Vdt}}
\]")
(3)
![\[
{{(\delta V - \delta V_0 )} \mathord{\left/
{\vphantom {{(\delta V - \delta V_0 )} {\delta V}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta V}}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/d/f2d2013b50e8919efc6beff9d746c4a982.png "\[
{{(\delta V - \delta V_0 )} \mathord{\left/
{\vphantom {{(\delta V - \delta V_0 )} {\delta V}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta V}}
\]")
рассматривать как относительное изменение элементарного объема за бесконечно малый промежуток времени, то общеизвестно, что в этом случае ![\[
{{(\delta V - \delta V_0 )} \mathord{\left/
{\vphantom {{(\delta V - \delta V_0 )} {\delta V = {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta V = {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u}}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/a/1/7a1a2de4e3a140d477331405e571f96882.png "\[
{{(\delta V - \delta V_0 )} \mathord{\left/
{\vphantom {{(\delta V - \delta V_0 )} {\delta V = {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\delta V = {\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u}}
\]")
. В таком случае соотношение (3) необходимо переписать следующим образом:
![\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{d}{{dt}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/1/f/31f233c534eef0b7a7676c05413c1f7f82.png "\[
{\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u = \frac{d}{{dt}}{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u + {\mathop{\rm div}\nolimits} \dot \vec u{\mathop{\rm div}\nolimits} \vec u
\]")
( 4)