Не более пяти решений

[Dmitriy40]

nnosipov
Для ясности примем Ваше определение серий.
Тогда решение с $H=-209$ описывается серией $H=-t^2-t+1$ при $t=14$. (UPD. Ошибся.)

Двухпараметрическим перебором были дополнительно найдены некоторые не описываемые известными 6-ю сериями решения, суммарно сейчас они вот:

H=-209, m=4, Q=4, n=5: (-5,-16) (-2,15) (0,-1) (1,-15) (1,14)
H=-389, m=5, Q=4, n=5: (-7,-22) (-15,29) (13,-27) (0,-1) (3,20)
H=-4229, m=9, Q=7, n=5: (25,74) (-47,93) (45,-91) (0,-1) (3,65)
H=-9353, m=10, Q=9, n=5: (-11,98) (-6,-97) (0,-1) (2,-97) (4,-97)
H=-64083, m=16, Q=15, n=5: (53,264) (-178,-357) (180,359) (0,-1) (15,254)
H=-11282249, m=58, Q=57, n=5: (-84,-3361) (-14,3359) (-6,3359) (0,-1) (20,3359)
H=-175481375, m=116, Q=114, n=6: (-9368,18735) (9366,-18733) (-23,13247) (-9,13247) (0,-1) (32,13247)
H=-218535503, m=122, Q=121, n=5: (5587,-16762) (-21,14783) (-11,14783) (0,-1) (32,14783)
H=-344583203, m=137, Q=135, n=5: (1243,-18646) (-21,18563) (-13,18563) (0,-1) (34,18563)
H=-17171193263, m=362, Q=361, n=5: (3747,-131146) (-112,131039) (-5,131039) (0,-1) (117,131039)
H=-58961053259, m=493, Q=492, n=5: (-20377,244523) (-71,242819) (-19,242819) (0,-1) (90,242819)
H=-96655666319, m=558, Q=557, n=5: (-9725,311199) (-127,310895) (-9,310895) (0,-1) (136,310895)
H=-150496612203, m=623, Q=622, n=5: (11093,-388256) (-163,387939) (-7,387939) (0,-1) (170,387939)
H=-191550579209, m=662, Q=661, n=5: (-9122,437855) (-194,-437665) (0,-1) (6,-437665) (188,-437665)
H=-199700766089, m=669, Q=667, n=5: (9314,-447073) (-190,446879) (-6,446879) (0,-1) (196,446879)
H=-295763017343, m=738, Q=736, n=5: (-205553,616658) (-103,-543841) (0,-1) (48,-543841) (55,-543841)
H=-374471743379, m=783, Q=781, n=5: (21883,612723) (-155,-611941) (0,-1) (14,-611941) (141,-611941)
H=-773951209529, m=938, Q=937, n=5: (-1337,-879747) (-174,-879745) (0,-1) (16,-879745) (158,-879745)
H=-825406546199, m=954, Q=952, n=5: (-36399,-909976) (-335,908519) (-4,908519) (0,-1) (339,908519)
H=-40089702503603, m=2517, Q=2515, n=5: (-95956,-6333097) (-531,6331643) (-11,6331643) (0,-1) (542,6331643)
H=-358099571149313, m=4351, Q=4349, n=5: (-6160,-18923521) (-240,18923519) (-112,18923519) (0,-1) (352,18923519)
H=-721233187217639, m=5183, Q=5181, n=5: (373069,26860967) (-629,-26855785) (0,-1) (36,-26855785) (593,-26855785)

8 из них есть в файле solve5_skip_x=+-1.txt.

Плюс проверены серии c двумя корнями $x=\pm 1$ (сюда подпадают все 6 известных серии) до $-10^{15}<H$ и не найдено ничего кроме самих этих серий.
Плюс "редкие" серии (которых 4 штуки) проверены до $-10^{26}<H$ (до $\sqrt{8t^2+\{-7,+1,+9,+17\}},\; t<7.1\cdot10^{12}$) и тоже ничего интересного не найдено.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1456248 писал(а):

Для ясности примем Ваше определение серий.
Тогда решение с $H=-209$ описывается серией $H=-t^2-t+1$ при $t=14$.

Тут есть нюанс: серия задается формулами отсюда http://dxdy.ru/post1455235.html#p1455235 и при $t=14$ корни не извлекаются.

Вот явные формулы (без радикалов) для этой серии: $H=-4v^4-8v^3-6v^2-2v+1$ и пять решений

$$(0,-1),\;(1,2v^2+2v),\;(1,-2v^2-2v-1),\;(v,-2v^2-2v-1),\;(-v-1,-2v^2-2v-1).$$

Здесь $v \geqslant 2$ (при $v=1$ фактически есть только четыре решения). Это 1-я "плотная" серия.

2-я "плотная" серия имеет аналогичный вид: $H=-4v^4+8v^3+2v^2-6v+1$ и пять решений

$$(0,-1),\;(-1,2v^2-2v+2),\;(-1,2v^2-2v-1),\;(v,2v^2-2v-1),\;(-v+1,2v^2-2v-1).$$

Здесь $v \geqslant 3$ (при $v=1$ и $v=2$ фактически четыре решения).

Теперь "редкие" серии.

1. $H=-2t^2-1$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t+1,2t+1),\;(-t+1,-2t+1),\;(1,\tfrac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{8t^2+9})).$$

Здесь $t \in \{3, 18, 105, 612, 3567, 20790,\dots\}$.

2. $H=-2t^2-1$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t+1,2t+1),\;(-t+1,-2t+1),\;(-1,\tfrac{1}{2}(1 \pm \sqrt{8t^2+17})).$$

Здесь $t \in \{8,13,47,76,274,443,1597,2582,9308,15049,54251,\dots\}$.

3. $H=-2t^2+3$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t-1,-2t+1),\;(-t-1,2t+1),\;(1,\tfrac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{8t^2-7})).$$

Здесь $t \in \{4,11,23,64,134,373,781,2174,4552,12671,26531,\dots\}$.

4. $H=-2t^2+3$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t-1,-2t+1),\;(-t-1,2t+1),\;(-1,\tfrac{1}{2}(1 \pm \sqrt{8t^2+1})).$$

Здесь $t \in \{6,35,204,1189,6930,40391,\dots\}$.

Все эти серии бесконечны и, похоже, попарно не пересекаются, за единственным исключением: 1-я "плотная" серия пересекается с 3-й "редкой" по $H=-1219919$. Объединение этих серий в интервале $-10^{10}<H<0$ дает $(222+222+6+11+11+6)-1=477$ значений $H$. Остаются $486-477=9$ исключений, которые были указаны выше.

Как я понял, дальнейший поиск в этих сериях ничего интересного не дал.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1456248 писал(а):

Двухпараметрическим перебором были дополнительно найдены
некоторые не описываемые известными 6-ю сериями решения, суммарно сейчас они вот:

ОК, будем иметь в виду.

[kotenok gav]

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

1-я "плотная" серия пересекается с 3-й "редкой" по $H=-1219919$.

Хм, и это та самая единственная найденная семерка.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1456349 писал(а):

Хм, и это та самая единственная найденная семерка.

Да, забавно получилось. Это, кстати, позволяет найти семерку "аналитически": решая уравнение

$$-4v^4-8v^3-6v^2-2v+1=-2t^2+3$$

в натуральных числах, а потом на всякий случай проверяя найденное общее значение $H$, не будет ли случайно больше решений

[grizzly]

Просто смотрю тему как увлекательный сериал. Но знаю по привычке -- когда появляются какие-то наборы чисел, их бывает полезно посмотреть в OEIS. Правда, не знаю, зачем это, но пусть будет:

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

1. $H=-2t^2-1$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t+1,2t+1),\;(-t+1,-2t+1),\;(1,\tfrac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{8t^2+9})).$$

Здесь $t \in \{3, 18, 105, 612, 3567, 20790,\dots\}$.

A106328.

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

2. $H=-2t^2-1$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t+1,2t+1),\;(-t+1,-2t+1),\;(-1,\tfrac{1}{2}(1 \pm \sqrt{8t^2+17})).$$

Здесь $t \in \{8,13,47,76,274,443,1597,2582,9308,15049,54251,\dots\}$.

A077241.

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

3. $H=-2t^2+3$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t-1,-2t+1),\;(-t-1,2t+1),\;(1,\tfrac{1}{2}(-1 \pm \sqrt{8t^2-7})).$$

Здесь $t \in \{4,11,23,64,134,373,781,2174,4552,12671,26531,\dots\}$.

A006452.

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

4. $H=-2t^2+3$ и пять решений

$$(0,-1),\;(t-1,-2t+1),\;(-t-1,2t+1),\;(-1,\tfrac{1}{2}(1 \pm \sqrt{8t^2+1})).$$

Здесь $t \in \{6,35,204,1189,6930,40391,\dots\}$.

A001109.

[dmd]

nnosipov в сообщении #1456355 писал(а):

$$-4v^4-8v^3-6v^2-2v+1=-2t^2+3$$

Оно же $4 + 4 v + 12 v^2 + 16 v^3 + 8 v^4 = (2t)^2$

и для него магма при помощи IntegralQuarticPoints([8, 16, 12, 4, 4]); дает только такие целые решения [v,2t]:

[[ -1, +-2 ],[ 23, +-1562 ],[ 0, +-2 ],[ -24, +-1562 ]]

[nnosipov]

grizzly в сообщении #1456363 писал(а):

Просто смотрю тему как увлекательный сериал.

Спасибо за комплимент Худо-бедно, но недельку на самоизоляции мы скоротали. Правда, скоро возникнут проблемы со сценарием, ибо идей новых что-то нет.

По поводу OEIS: подозреваю, что там есть все последовательности, соответствующие решениям уравнений Пелля с небольшими коэффициентами. Сейчас от балды написал уравнение $3t^2+13=l^2$, и последовательность значений $t$ действительно нашлась в OEIS.

Upd. Хотя для уравнения $3t^2+22=l^2$ уже нет.

dmd
Спасибо. Да, такие уравнения имеют конечное множество решений. Надеюсь, Magma решило его корректно.

Кстати, вот новая мысль (несерьезная). До сих пор мы решали диофантовы уравнения триллиардами, но с относительно небольшими $H$. Теперь можно попробовать поставить рекорд по $H$: взять случайное большое $H$ и за разумное время решить ОДНО уравнение с таким $H$. Множество решений здесь не должно интересовать --- понятно, что это будет $\{(0,-1)\}$. Прикол в том, что мы будем точно знать, что других решений нет.

Более серьезный вопрос: можно ли сварганить бесконечную последовательность значений $H$, для которых уравнение имеет только тривиальное решение?

[kotenok gav]

Любопытный факт: первая и четвертая "экспоненциальная" серия (их $t$) удволетворяют реккурентному уравнению $a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}$, а вторая и третья - $a_n=6a_{n-2}-a_{n-4}$ (поэтому, скажем, если разделить эти серии на две - снова получится $a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}$).

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1456248 писал(а):

Тогда решение с $H=-209$ описывается серией $H=-t^2-t+1$ при $t=14$.

Тут есть нюанс: серия задается формулами отсюда http://dxdy.ru/post1455235.html#p1455235 и при $t=14$ корни не извлекаются.

Вы правы, я поторопился и не проверил извлекаемость корней, ограничился условием на $H$.

nnosipov в сообщении #1456320 писал(а):

Как я понял, дальнейший поиск в этих сериях ничего интересного не дал.

Да, эти серии проверены чуть дальше $H=-10^{15}$ и ничего кроме них самих не найдено.

grizzly
Спасибо! А то я уж сварганил перебор на асме и дошёл по $t$ до 23трлн ($H$ до $-10^{27}$).
Соответственно проверил на PARI/GP и все найденные варианты, кроме пятёрок ничего не нашёл.

nnosipov в сообщении #1456373 писал(а):

Теперь можно попробовать поставить рекорд по $H$: взять случайное большое $H$ и за разумное время решить ОДНО уравнение с таким $H$.

Вот строкой выше пример большого проверенного $H$, решено почти 23млн квадратных уравнений за 4 минуты. Моя программа на асме такие большие $H$ (примерно больше квадриллиона) к сожалению не поддерживает.

Идеи новые ... Есть одна, но она что-то не даёт результатов: поискать одновременное существование одной из 6-ти серий (разумеется лучше первых двух "частых", кстати предлагаю серии пронумеровать сквозным способом, с 1-й по 6-ю) и варианта с тремя одинаковыми $y$ (раз уж для него есть прямая формула на $H$). Я это запустил, но там перебор двухпараметрический и пока досчитал лишь до $\max(t,v)<385000$.

[Dmitriy40]

Хм, двухпараметрический перебор с добавлением корней первых двух серий досчитал до $\max(t,v)<477000$, а это уже $\min(|H|)>2\cdot10^{23}$, т.е. до этого такого решения (длиной не менее 6 корней: стандартный $(0,-1)$, два с $x_{2,3}=\pm 1$ и три $|x_{4,5,6}|>1$ с одинаковым $y$) выходит точно нет.

[nnosipov]

Очень не хотелось бы доказывать, что никаких других шестерок и т.д., кроме найденных, на самом деле нет. Вот взять более простое утверждение про то, что в серии номер 1 (или номер 2, неважно) нет никаких шестерок и более, кроме уже найденных, --- и даже здесь уже непонятно, как это можно было бы доказать. Никаких идей.

-- Ср апр 22, 2020 00:49:52 --

Dmitriy40 в сообщении #1456440 писал(а):

Вот строкой выше пример большого проверенного $H$, решено почти 23млн квадратных уравнений за 4 минуты.

Я правильно понял, что речь идет о значении $H$ порядка $10^{27}$?

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1456730 писал(а):

Dmitriy40 в сообщении #1456440 писал(а):

Вот строкой выше пример большого проверенного $H$, решено почти 23млн квадратных уравнений за 4 минуты.

Я правильно понял, что речь идет о значении $H$ порядка $10^{27}$?

Да, вот такова скорость работы PARI/GP, примерно 100 тысяч квадратных уравнений в секунду. И корень там занимает не 99% времени, это всё же далеко небыстрый интерпретатор. Зато не ограничен в размере чисел.

А благодаря grizzly и kotenok gav запустил проверку на PARI/GP всех 4-х "редких" серий, вдруг там что найдётся, но проверилось уже до $H \approx -10^{34}$ и ничего кроме пятёрок не нашлось. Решение с $H \approx -10^{34}$ проверялось более трёх часов (не засекал, оценка).

Т.е. фактически все мысли проверены довольно далеко. Других пока нет. Потому лень дописывать работу с большими $H$ (хотя знаю как несложно переделать для $|H|<10^{25}$). Прикинул пару вариантов векторизации под AVX2, один не даёт выигрыша, другой не уверен как реализовать, а ни плавающую точку ни Ньютона прикрутить не удаётся (чтоб и быстро и не слишком заворочено). Тупик. Ещё и потому что не видно чтобы где-то не слишком далеко были интересные решения, нет мотива помучиться.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1456890 писал(а):

Ещё и потому что не видно чтобы где-то не слишком далеко были интересные решения, нет мотива помучиться.

Полностью согласен. Еще раз спасибо за потраченное время. Если можно, скиньте свою программу на PARI/GP (ту, которую Вы с самого начала написали). Пытаюсь сейчас переписывать свои программы с Maple на PARI/GP, нужны хорошие образцы для подражания.

[Dmitriy40]

Хотя нет, есть одна идейка, причём дающая линейную по $H$ скорость перебора: поискать решения с хотя бы одним корнем от первого цикла, причём лишь для $2<|k|<6$, ведь многие найденные решения если и имеют корни от первого цикла, то при малых $|k|$.

(Программа на PARI/GP)

В офтопе так как не вижу чему в этой программе можно подражать: я откровенно поленился разбираться с двухэлементными векторами и вместо сохранения корней в вектор просто тупо выдаю их на экран. И лишь в конце добавляю длину решения в конец строки. А задачу фильтрации решений выполняю средствами Windows (команда findstr). Да и вообще написано в плохом стиле, лишь бы работало. Короче это явно не образец. Но может что занятное и подчерпнёте:

v=[]; x=0;
{disp(H,x,y)=if(x*(y^2-2*x^2)+H*x+y+1==0, printf(" (%d,%d)",x,y))}
{check(a,b,c)=my(d,x,a2,r);
   if(a==0, if(c%b==0, v=[-c/b]); return);
   d=b^2-4*a*c; a2=a*2; v=[];
   if(d<0, return);
   if(d==0, if((-b)%a2==0, v=[-b/a2]); return);
   if(!issquare(d,&x), return); d=x;
   if((-b-d)%a2==0, v=[(-b-d)/a2]);
   if((-b+d)%a2==0, v=concat(v,[(-b+d)/a2]));
}
{forstep(H=-1,-2*10^6,-2,
   m=1+floor(sqrt(sqrt(abs(H)))); m2=m^2-2;
   Q=floor(m/m2+sqrt((m+abs(H))*m2+2)/m2);
   printf("H=%d, m=%d, Q=%d:",H,m,Q); n=0;
   for(k=-m,m, check(k^2-2, 2*k, H-k+1); for(i=1,#v, if(v[i]<-Q||v[i]>Q, n++; disp(H,v[i],-k*v[i]-1))));
   for(x=-Q,Q, check(x, 1, -2*x^3+H*x+1); n+=#v; for(i=1,#v, disp(H,x,v[i])));
   print(" +++ n=",n);
)}
\q

Насчёт образцов кода, поищите по форуму "PARI" (плюс специальная тема по нему), многие (и я) выкладывали образцы и получше.