Формула Грина.

[_20_]

Доказательство формулы Грина состоит из двух частей:

$\oint\limits_{\gamma} Q(x(y),y)dy = \iint \limits_D \frac {\partial {(Q(x(y), y)}}{\partial x} dx dy $
$\oint\limits_{\gamma} P(x,y(x))dx = - \iint \limits_D \frac {\partial {(P(x, y(x))}}{\partial y} dx dy $

В чём особенная важность именно суммы этих выражений. Почему формулой грина не назвали просто преобразование криволинейного интегралла в двойной, а назвали именно их сумму?

Могут ли функции $Q(x(y),y)$ и $P(x,y(x))$ быть соверщенно не связанными между собой функциями?

[Someone]

_20_ в сообщении #1455631 писал(а):

Могут ли функции Q(x(y),y) и P(x,y(x)) быть соверщенно не связанными между собой функциями?

А какая между ними связь, кроме того, что они в одном выражении присутствуют?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

Чтобы "не плодить сущности". Потому что каждая из представленных формул может рассматриваться как частный случай формулы Грина, в котором $P$ (соответственно, $Q$) равно 0.

Кроме того, впоследствии оказывается, что эта формула, вместе с формулами Стокса и Остроградского, и даже формулой Ньютона-Лейбница являются частными случаями некоей далеко идущей общей идеи.

-- 18.04.2020, 08:40 --

_20_ в сообщении #1455631 писал(а):

Почему формулой грина не назвали просто преобразование криволинейного интеграла в двойной, а назвали именно их сумму?

Формулой Грина как раз называют преобразование криволинейного интеграла в двойной. Только криволинейного интеграла общего вида.

[Утундрий]

Есть довольно простое для запоминания правило - нормаль в наблу:

$$\oint\limits_{\partial A} {{\mathbf{n}}...dl} = \int\limits_A {\nabla ...dA} $$

Выводится из Матана, применяется на уровне коленного рефлекса.

[_20_]

provincialka в сообщении #1455689 писал(а):

Кроме того, впоследствии оказывается, что эта формула, вместе с формулами Стокса и Остроградского, и даже формулой Ньютона-Лейбница являются частными случаями некоей далеко идущей общей идеи.

А можете озвучить эту идею?

provincialka в сообщении #1455689 писал(а):

Только криволинейного интеграла общего вида.

Общего - это первого, правильно? Или есть какой - то совсем общий интеграл?

Утундрий в сообщении #1455690 писал(а):

Есть довольно простое для запоминания правило - нормаль в наблу:

Наглядно, только это не совсем Грина.

[Утундрий]

_20_ в сообщении #1455711 писал(а):

Наглядно, только это не совсем Грина.

Вам "шашечки" или ехать?

[Someone]

_20_ в сообщении #1455711 писал(а):

Общего - это первого, правильно?

Нет, третьего. Который Вы не написали.

[provincialka]

_20_ в сообщении #1455711 писал(а):

А можете озвучить эту идею?

Обобщенная теорема Стокса Только для понимания формулировки надо знать, что такое внешняя форма, и внешний дифференциал. Ну, и что такое ориентируемое многообразие.

_20_ в сообщении #1455711 писал(а):

Общего - это первого, правильно?

Чего "первого"? если рода -- то второго: $\int\limits_\Gamma P(x,y)dx+Q(x,y)dy$
Ваши формулы получаются параметризацией кривой $\Gamma$, то есть переходом к одной переменной.