Не более пяти решений

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1455367 писал(а):

Как я понял, в этих сериях пятерок ничего другого (шестерок и более) нет до 1.7 тлн. Может, имеет смысл поискать дальше?

Да, другого не найдено.
Но и перебор был не этих серий, а лишь по условию наличия любого из корней $x=\pm1$.
Продолжить счёт дальше 1.7трлн сложно, может наступить переполнение при вычислении подкоренного выражения, а контроля туда пока так и не добавил. Как не добавил и двойную точность там (это ещё сложнее лишь контроля, да и замедлит вдвое). Ленивый.
Запущу на PARI/GP счёт, в нём нет ограничений на величину чисел и уж точно нет моих возможных ошибок.
Запустил и обнаружил проблему: после

H=-1160117659, m=185, Q=184, n=6: (1312,34111) (-131,-34061) (0,-1) (1,-34061) (1,34060) (130,-34061)

других исключений из файла solve5fast_big_x.txt перебор по формуле $t=-2k^2+2k\pm1$ не находит. Что собственно логично, для них ведь и не выполняется условие на извлекаемость того квадратного корня в $x=...$.
Надо пожалуй дописывать двойную точность в дискриминант и запускать счёт просто по наличию любого из корней $x=\pm 1$, помнится до 1.7трлн считалось меньше 8 минут.

UPD. Добавил контроль переполнения и оно произошло уже на 1.74355трлн.
UPD2. Чуть подправил, запустил, теперь должно без переполнения досчитаться до 1485трлн (почти до $1.5\cdot10^{15}$).
UPD3. Незадача, вылетела по переполнению уже на 4.389трлн.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1455408 писал(а):

UPD2. Чуть подправил, запустил, теперь должно без переполнения досчитаться до 1485трлн (почти до $1.5\cdot10^{15}$).

Давайте этим и ограничимся. Во всяком случае, пока не появятся новые идеи. Сейчас есть некоторые основания считать, что найденные шестерки и семерка являются скорее исключением, чем правилом. Т.е., скорее всего, этот новый поиск ничего не даст.

Что удалось сделать аналитически:

1. Единым образом получить 4 уже известных бесконечных 1-параметрических серии пятерок. Среди них 2 многочленных (для $H=-t^2-t+1$ и $H=-t^2-t+3$) и 2 экспоненциально редких (логарифмических?), соответствующих $H=-2t^2-1$ и $H=-2t^2+3$. Указанные логарифмические серии пересекаются с указанными многочленными только в конечном числе случаев.

2. Найти 2-параметрическое семейство четверок.

Что не удалось:

1. Найти 1-параметрическое семейство шестерок. Кажется довольно безнадежным делом, если опираться на простые соображения. Даже если существует, то, по-видимому, является очень редким.

-- Пт апр 17, 2020 21:45:36 --

Dmitriy40 в сообщении #1455408 писал(а):

UPD3. Незадача, вылетела по переполнению уже на 4.389трлн.

Ну и ладно. Шансы найти что-то новенькое все равно слабенькие.

[kotenok gav]

А можно ли доказать, что не существует других семерок, кроме двух найденных?

[Dmitriy40]

Подобрал формулы для серий с корнями вида $y=\pm 2x \pm 1$, получилось 4 серии:
$b=\pm 1, \quad x=\pm 1, \quad a=\sqrt{4(2t^2+2b-x)+5}$
тут $t$ выбирать так чтобы корень извлекался, тогда корни:
$H=-2t^2+1-2b, \; (0,-1) \; (b(t+1),2t+1) \; (-b(t-1),-2t+1) \; (x, \frac{-x \pm a}{2})$
О, кажется Вы это тоже уже сделали.

[nnosipov]

kotenok gav в сообщении #1455483 писал(а):

А можно ли доказать, что не существует других семерок, кроме двух найденных?

Я не могу.

Dmitriy40 в сообщении #1455491 писал(а):

О, кажется Вы это тоже уже сделали.

Да, это те самые логарифмические серии. Думаю, что подобные серии еще есть --- можно рассматривать $x=\pm 2$ и т.д. Но их вклад будет еще меньшим. Но ведь каким-то (a priori) он будет. Это-то и мешает доказать равномерную ограниченность числа решений.

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1455497 писал(а):

Думаю, что подобные серии еще есть --- можно рассматривать $x=\pm 2$ и т.д.

Я в этом смысла не вижу: до 10млрд они были найдены лишь отдельные случаи и все строго до $|H|<210$. Очень сомнительно что они вдруг возникнут далее.

Досчиталось с 10 до 20трлн (млрд конечно), из интересного обнаружено лишь ещё одно исключение:

H=-17171193263, m=362, Q=361, n=5: (3747,-131146) (-112,131039) (-5,131039) (0,-1) (117,131039)

Всё же остальное описывается 6-ю сериями выше.

-- 18.04.2020, 2:13 --

Ещё проверил сколько возможных $t$ может быть в сериях $\sqrt{8t^2+\{-7,+1,+9,+17\}}$, оказалось до $|H|<10^{22}$ допустимы всего 83 значения, проверил их все и ничего интересного не обнаружил, одни пятёрки.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1455525 писал(а):

Я в этом смысла не вижу: до 10млрд они были найдены лишь отдельные случаи и все строго до $|H|<210$. Очень сомнительно что они вдруг возникнут далее.

Беда в том, что они (теоретически) могут возникнуть очень далее, где-нибудь в районе $10^{100}$. Такое с решениями уравнений Пелля очень даже бывает. Понятно, что до этих мест мы никогда не доберемся практически. Тем самым задача становится сугубо теоретической, перебор на компьютере уже не поможет.

-- Сб апр 18, 2020 00:06:40 --

Dmitriy40 в сообщении #1455525 писал(а):

Всё же остальное описывается 6-ю сериями выше.

По-моему, это сам по себе интересный факт. Получается, что спорадических ситуаций считанные единицы на довольно широком диапазоне.

[Dmitriy40]

Исписав десяток листиков вывел интересную серию, в которой есть три корня с одинаковым $y$:
примем $x_1,x_2 \in \mathbb{Z}, \quad x_3=x_1+x_2$,
тогда $y=-2 x_1 x_2 x_3 -1, \quad H=x_3^2 (2- 4 x_1^2 x_2^2) -2 x_1 x_2 (2 x_3 +1)-1$
Есть ли зависимость остальных корней от этих в таком решении непонятно.

Запустив данную серию нашёл новые решения:

H=-58961053259, m=493, Q=492, n=5: (-20377,244523) (-71,242819) (-19,242819) (0,-1) (90,242819)
H=-96655666319, m=558, Q=557, n=5: (-9725,311199) (-127,310895) (-9,310895) (0,-1) (136,310895)
H=-150496612203, m=623, Q=622, n=5: (11093,-388256) (-163,387939) (-7,387939) (0,-1) (170,387939)
H=-191550579209, m=662, Q=661, n=5: (-9122,437855) (-194,-437665) (0,-1) (6,-437665) (188,-437665)
H=-199700766089, m=669, Q=667, n=5: (9314,-447073) (-190,446879) (-6,446879) (0,-1) (196,446879)
H=-295763017343, m=738, Q=736, n=5: (-205553,616658) (-103,-543841) (0,-1) (48,-543841) (55,-543841)
H=-374471743379, m=783, Q=781, n=5: (21883,612723) (-155,-611941) (0,-1) (14,-611941) (141,-611941)
H=-773951209529, m=938, Q=937, n=5: (-1337,-879747) (-174,-879745) (0,-1) (16,-879745) (158,-879745)
H=-825406546199, m=954, Q=952, n=5: (-36399,-909976) (-335,908519) (-4,908519) (0,-1) (339,908519)
H=-40089702503603, m=2517, Q=2515, n=5: (-95956,-6333097) (-531,6331643) (-11,6331643) (0,-1) (542,6331643)
H=-358099571149313, m=4351, Q=4349, n=5: (-6160,-18923521) (-240,18923519) (-112,18923519) (0,-1) (352,18923519)
H=-721233187217639, m=5183, Q=5181, n=5: (373069,26860967) (-629,-26855785) (0,-1) (36,-26855785) (593,-26855785)

[nnosipov]

Это похоже на то, что я выше назвал 2-параметрическим семейством четверок. Теперь видно, что некоторые четверки в этом семействе фактически оказываются пятерками.

В самом общем виде эта конструкция выглядит так. Из нашего уравнения $x(y^2-2x^2)+Hx+y+1=0$ следует, что $y+1$ делится на $x$. Положим $x=t$, $y=st-1$, где $s$, $t$ --- произвольные целые числа, $t \neq 0$. Тогда при $H=-(s^2-2)t^2+2st-s-1$ пара $(x,y)=(t,st-1)$ будет решением. Но при $y=st-1$ уравнение должно иметь три корня относительно $x$, один из них нам известен: это $x=t$. Для двух других имеем квадратное уравнение $2x^2+2tx+s=0$. Отсюда $x=\tfrac{1}{2}(-t \pm \sqrt{t^2-2s})$. Эти корни будут целыми, если $s=(t^2-u^2)/2$, где $u \equiv t \pmod{2}$ --- целое число. Удобно положить $u=t+2v$. Тогда

$$H=-4t^4v^2-8t^3v^3-4t^2v^4+2t^2-4t^2v-4tv^2+2tv+2v^2-1.$$

При таком $H$ уравнение имеет решения $(t,-2tv(t+v)-1)$, $(v,-2tv(t+v)-1)$, $(-t-v,-2tv(t+v)-1)$. Вместе с тривиальным решением $(0,-1)$ имеем четверку решений. Перебирая $t$ и $v$, можно надеяться получить больше решений.

Upd. Таким способом находятся все шестерки (кроме первых двух) и семерка.

[Dmitriy40]

Да, выражение для $H$ ну очень похоже на моё, а $y$ в точности, я это получил более тупым способом, но в целом аналогично.

nnosipov в сообщении #1455696 писал(а):

При таком $H$ уравнение имеет решения $(t,-2tv(t+v)-1)$, $(v,-2tv(t+v)-1)$, $(-t-v,-2tv(t+v)-1)$. Вместе с тривиальным решением $(0,-1)$ имеем четверку решений. Перебирая $t$ и $v$, можно надеяться получить больше решений.

Только надо учесть что бывают решения с двумя положительными и двумя отрицательными значениями $x$ с одинаковым $y$. Т.е. один $x$ всегда отрицателен, один всегда положителен, а вот третий может быть и плюс и минус. Ещё из симметричности можно принять $|t|<|v|$ (или наоборот).

Dmitriy40 в сообщении #1455408 писал(а):

UPD3. Незадача, вылетела по переполнению уже на 4.389трлн.

Ночью таки нашёл в чём глюк: в вычислении $Q$, происходило переполнение и оно приравнивалось к $-2^{63}$ (минимально представимому числу), а такие $x$ конечно недопустимы. Исправил на вычисление сразу в плавающей точке (пусть и с потерей точности) и уже досчиталось до 200трлн. Интересного ничего, одни пятёрки 6-ти серий что выше (с корнями $x=\pm1$).

-- 18.04.2020, 16:18 --

Пытался пойти обратным путём, сконструировать такое $H$, чтобы было гарантированно 7 корней, но в процессе натолкнулся кажется на доказательство принципиальной ограниченности серий некоторого вида. Ход мыслей: рассмотрим два фиксированных разных $x_1,x_2$, для каждого из них должен извлекаться корень $\sqrt{C_{a1}-C_{b2}H}$, вроде бы есть надежда что обе серии $H$ (и $y_{1,2}$) бесконечные, однако дальше получаем условие на $y_1,y_2$, сводимое к $C_3(2x_1 y_1\pm1)^2-(2x_2 y_2\pm1)^2=C_4$. Но разность квадратов при увеличении аргументов не может быть произвольно маленькой, разность соседних квадратов растёт и обязательно превысит константу. А значит есть верхний предел для $|y_1|,|y_2|$ для каждой комбинации $x_1,x_2$. Надеюсь не ошибся нигде.
Фактически оказывается конечным количество решений с одинаковой комбинацией $x_1,x_2$.
Это может мешать существовать новым решениям с уже известными комбинациями $x_i$, что осложняет их поиск.

Бесконечным сериям это не мешает так как в них $x$ меняются.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1455765 писал(а):

Да, выражение для $H$ ну очень похоже на моё

Сейчас вгляделся: они совпадают при $s=2x_1x_2$ и $t=-x_3$.

Dmitriy40
Хочу уточнить по поводу статистики: для всех $H$ до $10^{10}$ уравнение было решено математически корректно, при этом имеется очень небольшой список значений $H$, где решений пять или более, но эти значения $H$ не являются серийными. Этот список в файле solve5_skip_x=+-1.txt, я правильно понимаю?

-- Сб апр 18, 2020 21:41:12 --

Dmitriy40 в сообщении #1455765 писал(а):

Пытался пойти обратным путём, сконструировать такое $H$, чтобы было гарантированно 7 корней

С шестерками тоже непонятно. Может, те пять, что были найдены, это и есть все. Но доказательство не обещает быть простым.

[Dmitriy40]

nnosipov в сообщении #1455801 писал(а):

Хочу уточнить по поводу статистики: для всех $H$ до $10^{10}$ уравнение было решено математически корректно, при этом имеется очень небольшой список значений $H$, где решений пять или более, но эти значения $H$ не являются серийными. Этот список в файле solve5_skip_x=+-1.txt, я правильно понимаю?

Не совсем так: туда попали и некоторые серии с $y=\pm 2x \pm 1$ и тремя корнями с одинаковым $y$, для которых уже позже были выведены формулы серий на $H$.
Собственно нет ни одного известного решения, $H$ которого не попал бы ни под одну из трёх формул. Это конечно не доказательство.
Плюс для некоторых серий (с тремя одинаковыми $y$ в корнях) нет формул для хотя бы всех 5-ти корней, только для четырёх.
Ну и проверено прямым счётом для нечётных $H$ до -20млрд, я выше поправил сообщение (не хотелось захламлять тему). Правда тут с Вашим ограничением на циклы по $x$ и $k$ (я так и не разобрался откуда они вывелись, хотя выборочно проверил и лишних корней не нашлось).

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1455808 писал(а):

Правда тут с Вашим ограничением на циклы по $x$ и $k$ (я так и не разобрался откуда они вывелись, хотя выборочно проверил и лишних корней не нашлось).

По поводу обоснования алгоритма (ограничения перебора по $x$ и $k$) можно посмотреть в файле, который прилагаю (см. раздел 1). Собственно, это и есть математическая составляющая задачи. Там все элементарно, но если будут вопросы, задавайте.

[Dmitriy40]

nnosipov
Спасибо, посмотрел.

Обнаружил ещё два интересных замечания.
1. Хотя в обеих сериях $x=\pm 1$ и $y=\pm 2x \pm 1$ есть решения с $x=\pm 1$, но вот одновременно (при одинаковом $H$) они невозможны. Надеялся найти выражения для $H$ когда они верны оба и получить сразу минимум 7 корней ...
2. Серия $x=\pm 1$ без корней $y=\pm 2x \pm 1$ полностью подпадает и под серию на три одинаковых $y$.

Dmitriy40 в сообщении #1455808 писал(а):

Собственно нет ни одного известного решения, $H$ которого не попал бы ни под одну из трёх формул.

Тут я похоже немного неправильно выразился, из первых 20млрд под серию $x=\pm 1,\; H=-t^2+t+2 \pm 1$ (и под серию $y=\pm 2x \pm 1,\; H=-2t^2+1\pm 2$ тоже) не подпадают:

H=-389, m=5, Q=4, n=5: (-7,-22) (-15,29) (13,-27) (0,-1) (3,20)
H=-4229, m=9, Q=7, n=5: (25,74) (-47,93) (45,-91) (0,-1) (3,65)
H=-9353, m=10, Q=9, n=5: (-11,98) (-6,-97) (0,-1) (2,-97) (4,-97)
H=-64083, m=16, Q=15, n=5: (53,264) (-178,-357) (180,359) (0,-1) (15,254)
H=-175481375, m=116, Q=114, n=6: (-9368,18735) (9366,-18733) (-23,13247) (-9,13247) (0,-1) (32,13247)
H=-218535503, m=122, Q=121, n=5: (5587,-16762) (-21,14783) (-11,14783) (0,-1) (32,14783)
H=-344583203, m=137, Q=135, n=5: (1243,-18646) (-21,18563) (-13,18563) (0,-1) (34,18563)
H=-17171193263, m=362, Q=361, n=5: (3747,-131146) (-112,131039) (-5,131039) (0,-1) (117,131039)

Но часть из них подпадает под серию с тремя одинаковыми $y$, после которой остаются:

H=-389, m=5, Q=4, n=5: (-7,-22) (-15,29) (13,-27) (0,-1) (3,20)
H=-4229, m=9, Q=7, n=5: (25,74) (-47,93) (45,-91) (0,-1) (3,65)
H=-64083, m=16, Q=15, n=5: (53,264) (-178,-357) (180,359) (0,-1) (15,254)

И вот эти три, несмотря на наличие корней $y=\pm 2x \pm 1$ и даже $H=-2t^2+1 \pm 2$, но вот корень $\sqrt{8t^2+\{-7,+1,+9,+17\}}$ не извлекается и корней $x=\pm 1$ нет и потому формула серии эти $H$ не выдаёт.
Видимо эти три $H$ входят в ещё не описанную серию.
С другой стороны, если перебирать только $H=-2t^2+1 \pm 2$, не обращая внимания на извлекаемость корня для корней $x=\pm 1$, то эти $H$ тоже будут проверены. Так что хоть неизвестных $H$ и нет, но формулы серий описывают не все найденные решения.

[nnosipov]

Dmitriy40 в сообщении #1456116 писал(а):

но формулы серий описывают не все найденные решения

Похоже, мы по-разному понимаем термин "серия". У меня "серия" --- это такая последовательность значений $H$, для каждого из которых уравнение имеет по крайней мере пять решений. На данный момент я вижу ровно 6 таких серий, которые можно обнаружить аналитически и дать явные конструкции: две "плотных" (многочленных) и 4 "редких" (экспоненциальных; раньше я их называл логарифмическими, но это неправильно). Каждая из этих серий является 1-параметрической. При $-10^{10}<H<0$ существует ровно 486 значений $H$, для которых имеется не менее пяти решений (см. файл solve5.txt). Так вот, ровно 9 из этих значений не покрываются этими 6 сериями: это 8 значений $H$ из файла solve5_skip_x=+-1.txt и еще $H=-209$. Вот этот (небезынтересный, на мой взгляд) результат я хотел бы зафиксировать. Явные формулы этих 6 серий напишу позже.

Разумеется, при выделении серий можно исходить из разных критериев. Мой критерий --- это некоторое гарантированное число решений.