Шар "запрыгивает" на ступеньку

[profilescit]

Цитата:

Шар радиуса $R$, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на ступеньку высотой $H = R/5$. При какой скорости скольжения шар «запрыгнет» на ступеньку после первого удара? Удар шара о ступеньку абсолютно упругий. Трения нет.

Пусть у шара изначальная скорость $v_0 $. Удар упругий, а значит полная энергия системы сохраняется
$\frac{m v_0^2}{2} + m g R = \frac{m v^2}{2} + mg (R + H)$

В момент столкновения со ступенькой на шар действует сила тяжести и сила реакции опоры, направленная к центру шара.
Из за столкновения, скорость шара снижается и он приобретает ускорение. Пусть проекции на оси будут $a_x$ и $a_y$

Условие того что шар поднимется является равновесие моментов сил что действует на шар.
Выберем ось вращения в точке соприкосновения шара со ступенькой.

Тогда $m g \sqrt{R^2 - (R-H)^2} = m a_x (R - H) + m a_y \sqrt{R^2 - (R-H)^2} $

Если все мои рассуждения выше верны, появляется вопрос как связать ускорение шара (или одну из проекций) с изначальной скоростью шара. Прошу помочь и направить на верное решение.

[Pphantom]

В терминах ускорений тут проще вообще не рассуждать.

Попробуйте начать с того, что столкновение с углом ступеньки ничем принципиально не отличается от столкновения с плоскостью, касательной к шару в соответствующей точке. Посмотрите, как изменятся в результате столкновения компоненты скорости шара, и подумайте, какое условие на них надо наложить, чтобы шар мог "запрыгнуть" на ступеньку.

[slavav]

profilescit, удар - мгновенное действие. Никакого $H$ в первой формуле появится не должно. Вместо энергий разберитесь как связаны импульсы до и после удара.

[profilescit]

slavav в сообщении #1453787 писал(а):

profilescit, удар - мгновенное действие. Никакого $H$ в первой формуле появится не должно. Вместо энергий разберитесь как связаны импульсы до и после удара.

Импульсы до и после удара равны, однако поменяли свое направление на угол $\alpha$ который равен углу между горизонтом и касательной к шару в точке удара.

Изменение импульса, в модуле: $ \Delta p = p \sqrt{2 ( 1- \cos{\alpha})}$

[slavav]

profilescit, вы ошиблись. Вычислите импульс или скорость после удара явно. Все данные для этого у вас есть.

[profilescit]

slavav в сообщении #1453802 писал(а):

profilescit, вы ошиблись. Вычислите импульс или скорость после удара явно. Все данные для этого у вас есть.

Разве импульс после удара не будет равным изначальному? Упругий удар

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1453803 писал(а):

Разве импульс после удара не будет равным изначальному?

По модулю. А вас должно интересовать его направление.

[profilescit]

Pphantom в сообщении #1453804 писал(а):

По модулю. А вас должно интересовать его направление.

Ну вот, а направление изменится на угол $\alpha$ как я и писал выше.

Цитата:

Импульсы до и после удара равны, однако поменяли свое направление на угол $\alpha$ который равен углу между горизонтом и касательной к шару в точке удара.

Изменение импульса, в модуле: $ \Delta p = p \sqrt{2 ( 1- \cos{\alpha})}$

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1453805 писал(а):

Ну вот, а направление изменится на угол $\alpha$ как я и писал выше.

Во-первых, это неверно. Во-вторых, для решения задачи недостаточно обозначить неизвестную величину какой-нибудь буквой, ее еще и найти надо.

[profilescit]

Pphantom в сообщении #1453807 писал(а):

Во-первых, это неверно. Во-вторых, для решения задачи недостаточно обозначить неизвестную величину какой-нибудь буквой, ее еще и найти надо.

Хорошо, тогда пусть $\alpha$ это просто угол между векторами импульса до и после удара, формула становится верной?

Честно, не могу понять почему это другой угол, ведь если это аналогично поднятию на наклонную плоскость, то импульс после удара будет параллельным плоскость, а значит под таким же углом к горизонту (или начальному импульсу) что и наклонная плоскость к горизонту...

Не совсем понял как вычислить импульс по данным что у меня есть $(R, H, g)$... Допустим у шара масса $m$ и скорость $v$ тогда импульс $p = m v$ но вы ведь не это имели в виду...

[slavav]

profilescit, поднятию на наклонную плоскость соответствует неупругий удар.
У вас есть данные чтобы вычислить угол между импульсами явно. Он вполне конкретный, в радианах или градусах.

[profilescit]

slavav в сообщении #1453812 писал(а):

profilescit, поднятию на наклонную плоскость соответствует неупругий удар.
У вас есть данные что вычислить угол между импульсами явно. Он вполне конкретный, в радианах или градусах.

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{R^2-(R-H)^2}}{R} = \frac{3}{5}?$

[Pphantom]

profilescit в сообщении #1453809 писал(а):

Хорошо, тогда пусть $\alpha$ это просто угол между векторами импульса до и после удара, формула становится верной?

Да, но только для решения этой задачи она практически совершенно бесполезна.

profilescit в сообщении #1453809 писал(а):

Честно, не могу понять почему это другой угол, ведь если это аналогично поднятию на наклонную плоскость,

Это не аналогично поднятию на наклонную плоскость, это столкновение с наклонной плоскостью.

profilescit в сообщении #1453809 писал(а):

Не совсем понял как вычислить импульс по данным что у меня есть

Еще раз: вам не нужен модуль импульса, он действительно равен $m v$ и это тривиально. Вам нужно направление импульса (о чем уже несколько раз писал я) или компоненты вектора импульса (о чем уже несколько раз писал slavav). Понятно, что одно в другое легко пересчитывается.

-- 12.04.2020, 16:19 --

profilescit в сообщении #1453816 писал(а):

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{R^2-(R-H)^2}}{R} = \frac{3}{5}?$

Нет. И, кстати, стоит уточнить, какой версии интерпретации обозначения $\alpha$ вы собираетесь придерживаться (если что - ответ неверен в обоих случаях).

[profilescit]

Pphantom в сообщении #1453817 писал(а):

Нет. И, кстати, стоит уточнить, какой версии интерпретации обозначения $\alpha$ вы собираетесь придерживаться (если что - ответ неверен в обоих случаях).

Придерживаюсь того что это угол между импульсами до и после удара.
Угол наклона "плоскости" $\cos{\varphi} = \frac{R-H}{R} = \frac{4}{5}$

Сейчас же, я вошел в ступор и кажется (а скорее всего так и есть) до меня не доходит тривиальная вещь

[Alex-Yu]

profilescit в сообщении #1453803 писал(а):

Разве импульс после удара не будет равным изначальному? Упругий удар

Не будет. Здесь импульс не сохраняется (часть импульса передается ступеньке, и проблематично определить, какая часть).


Ой, пардон, момент импульса тоже не сохраняется . Момент силы тяжести забыл. Через энергию решать надо. А еще лучше так, как с самого начала было, рассматривая движение как вращение. Только ускорения надо выразить через угловое ускорение. Поучится диффуравнение, которое надо решить. Не забыть правильно написать момент инерции (по теореме Штейнера).