2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 14:17 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Цитата:
Шар радиуса $R$, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, налетает на ступеньку высотой $H = R/5$. При какой скорости скольжения шар «запрыгнет» на ступеньку после первого удара? Удар шара о ступеньку абсолютно упругий. Трения нет.


Пусть у шара изначальная скорость $v_0 $. Удар упругий, а значит полная энергия системы сохраняется
$\frac{m v_0^2}{2} + m g R = \frac{m v^2}{2} + mg (R + H)$

В момент столкновения со ступенькой на шар действует сила тяжести и сила реакции опоры, направленная к центру шара.
Из за столкновения, скорость шара снижается и он приобретает ускорение. Пусть проекции на оси будут $a_x$ и $a_y$

Условие того что шар поднимется является равновесие моментов сил что действует на шар.
Выберем ось вращения в точке соприкосновения шара со ступенькой.

Тогда $m g \sqrt{R^2 - (R-H)^2} = m a_x (R - H) + m a_y \sqrt{R^2 - (R-H)^2} $

Если все мои рассуждения выше верны, появляется вопрос как связать ускорение шара (или одну из проекций) с изначальной скоростью шара. Прошу помочь и направить на верное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 14:30 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
В терминах ускорений тут проще вообще не рассуждать.

Попробуйте начать с того, что столкновение с углом ступеньки ничем принципиально не отличается от столкновения с плоскостью, касательной к шару в соответствующей точке. Посмотрите, как изменятся в результате столкновения компоненты скорости шара, и подумайте, какое условие на них надо наложить, чтобы шар мог "запрыгнуть" на ступеньку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 14:38 
Заслуженный участник


26/05/14
981
profilescit, удар - мгновенное действие. Никакого $H$ в первой формуле появится не должно. Вместо энергий разберитесь как связаны импульсы до и после удара.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:05 
Аватара пользователя


12/02/20
282
slavav в сообщении #1453787 писал(а):
profilescit, удар - мгновенное действие. Никакого $H$ в первой формуле появится не должно. Вместо энергий разберитесь как связаны импульсы до и после удара.


Импульсы до и после удара равны, однако поменяли свое направление на угол $\alpha$ который равен углу между горизонтом и касательной к шару в точке удара.

Изменение импульса, в модуле: $ \Delta p  = p \sqrt{2 ( 1- \cos{\alpha})}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:22 
Заслуженный участник


26/05/14
981
profilescit, вы ошиблись. Вычислите импульс или скорость после удара явно. Все данные для этого у вас есть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:25 
Аватара пользователя


12/02/20
282
slavav в сообщении #1453802 писал(а):
profilescit, вы ошиблись. Вычислите импульс или скорость после удара явно. Все данные для этого у вас есть.


Разве импульс после удара не будет равным изначальному? Упругий удар :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:29 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
profilescit в сообщении #1453803 писал(а):
Разве импульс после удара не будет равным изначальному?
По модулю. А вас должно интересовать его направление.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:32 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Pphantom в сообщении #1453804 писал(а):
По модулю. А вас должно интересовать его направление.

Ну вот, а направление изменится на угол $\alpha$ как я и писал выше.

Цитата:
Импульсы до и после удара равны, однако поменяли свое направление на угол $\alpha$ который равен углу между горизонтом и касательной к шару в точке удара.

Изменение импульса, в модуле: $ \Delta p  = p \sqrt{2 ( 1- \cos{\alpha})}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:35 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
profilescit в сообщении #1453805 писал(а):
Ну вот, а направление изменится на угол $\alpha$ как я и писал выше.
Во-первых, это неверно. Во-вторых, для решения задачи недостаточно обозначить неизвестную величину какой-нибудь буквой, ее еще и найти надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:50 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Pphantom в сообщении #1453807 писал(а):
Во-первых, это неверно. Во-вторых, для решения задачи недостаточно обозначить неизвестную величину какой-нибудь буквой, ее еще и найти надо.


Хорошо, тогда пусть $\alpha$ это просто угол между векторами импульса до и после удара, формула становится верной?

Честно, не могу понять почему это другой угол, ведь если это аналогично поднятию на наклонную плоскость, то импульс после удара будет параллельным плоскость, а значит под таким же углом к горизонту (или начальному импульсу) что и наклонная плоскость к горизонту...

Не совсем понял как вычислить импульс по данным что у меня есть $(R, H, g)$... Допустим у шара масса $m$ и скорость $v$ тогда импульс $p = m v$ но вы ведь не это имели в виду...

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 15:54 
Заслуженный участник


26/05/14
981
profilescit, поднятию на наклонную плоскость соответствует неупругий удар.
У вас есть данные чтобы вычислить угол между импульсами явно. Он вполне конкретный, в радианах или градусах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 16:12 
Аватара пользователя


12/02/20
282
slavav в сообщении #1453812 писал(а):
profilescit, поднятию на наклонную плоскость соответствует неупругий удар.
У вас есть данные что вычислить угол между импульсами явно. Он вполне конкретный, в радианах или градусах.


$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{R^2-(R-H)^2}}{R} = \frac{3}{5}?$

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 16:13 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
profilescit в сообщении #1453809 писал(а):
Хорошо, тогда пусть $\alpha$ это просто угол между векторами импульса до и после удара, формула становится верной?
Да, но только для решения этой задачи она практически совершенно бесполезна.
profilescit в сообщении #1453809 писал(а):
Честно, не могу понять почему это другой угол, ведь если это аналогично поднятию на наклонную плоскость,
Это не аналогично поднятию на наклонную плоскость, это столкновение с наклонной плоскостью.
profilescit в сообщении #1453809 писал(а):
Не совсем понял как вычислить импульс по данным что у меня есть
Еще раз: вам не нужен модуль импульса, он действительно равен $m v$ и это тривиально. Вам нужно направление импульса (о чем уже несколько раз писал я) или компоненты вектора импульса (о чем уже несколько раз писал slavav). Понятно, что одно в другое легко пересчитывается.

-- 12.04.2020, 16:19 --

profilescit в сообщении #1453816 писал(а):
$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{R^2-(R-H)^2}}{R} = \frac{3}{5}?$
Нет. И, кстати, стоит уточнить, какой версии интерпретации обозначения $\alpha$ вы собираетесь придерживаться (если что - ответ неверен в обоих случаях).

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 16:27 
Аватара пользователя


12/02/20
282
Pphantom в сообщении #1453817 писал(а):
Нет. И, кстати, стоит уточнить, какой версии интерпретации обозначения $\alpha$ вы собираетесь придерживаться (если что - ответ неверен в обоих случаях).

Придерживаюсь того что это угол между импульсами до и после удара.
Угол наклона "плоскости" $\cos{\varphi} = \frac{R-H}{R} = \frac{4}{5}$

Сейчас же, я вошел в ступор :? и кажется (а скорее всего так и есть) до меня не доходит тривиальная вещь

 Профиль  
                  
 
 Re: Шар "запрыгивает" на ступеньку
Сообщение12.04.2020, 16:29 
Заслуженный участник


21/08/10
2456
profilescit в сообщении #1453803 писал(а):
Разве импульс после удара не будет равным изначальному? Упругий удар



Не будет. Здесь импульс не сохраняется (часть импульса передается ступеньке, и проблематично определить, какая часть).


Ой, пардон, момент импульса тоже не сохраняется . Момент силы тяжести забыл. Через энергию решать надо. А еще лучше так, как с самого начала было, рассматривая движение как вращение. Только ускорения надо выразить через угловое ускорение. Поучится диффуравнение, которое надо решить. Не забыть правильно написать момент инерции (по теореме Штейнера).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 79 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group