Утверждение о функции Мебиуса

[vicvolf]

Утверждение

Функция Мебиуса $\mu(n)$ при любом натуральном значении $n$ является случайным блужданием. При этом $\mu(n)=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$\mu(n)=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $\mu(n)=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.

Доказательство

Рассмотрим начальный интервал натурального ряда $[1,n]$ . Допустим, что на этом интервале имеется $1 \leq k \leq n$ натуральных чисел, имеющих простые делители только в первой степени . Пусть из указанных $k$ натуральных чисел имеют $k_1$ нечетное число простых делителей и $k_2$ имеют четное число простых делителей $(k=k_1+k_2)$ .

Обозначим плотность количества натуральных чисел, имеющих нечетное число простых делителей свободных от квадратов - $\nu_1=k_1/n (\mu(n)=-1)$, а плотность количества натуральных чисел, имеющих четное число простых делителей свободных от квадратов - $\nu_2=k_2/n (\mu(n)=1)$. Тогда плотность количества натуральных чисел, имеющих простые делители также степени выше первой, будет равна $\nu_3=1-\nu_1-\nu_2( \mu(n)=0)$.

На основании вышесказанного функцию Мертенса в точке можно записать в виде:
$M(n)=n(\nu_2-\nu_1)$. (1)

Учитывая (1) среднее значение функции Мебиуса на отрезке $[1,n]$ равно:
$E[\mu,n]=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}/n=M(n)/n=\nu_2-\nu_1=o(1)$. (2)

Известно, что плотность натуральных чисел на отрезке $[1,n]$ , имеющих простые делители только первой степени (свободных от квадратов), равна:
$\nu_1+\nu_2=6/\pi^2+o(1)$. (3)

Суммируя (2) и (3), получим:
$\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ , $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ , $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$. (4)


Указанные последовательности количества нечетных, четных простых делителей первой степени и количества простых делителей также степени выше первой степени натурального числа на интервале $[1,n]$ являются строго возрастающими, поэтому указанные плотности натуральных чисел: $\nu_1,\nu_2,\nu_3$ являются вероятностями, что соответствует утверждению.

Следствие

Функция Мертенса в точке $n$ - $M(n)$ на основании утверждения и формулы $M(n)=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}$ является суммой случайных блужданий.

Правильные ли утверждение и следствие?

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):

Правильные ли утверждение и следствие?

Утверждение очевидно по модулю двух фактов: $\sum_{k=1}^n\mu(k)=o(n)$ (сложный факт) и $\sum_{k=1}^n\mu^2(k)=6/\pi^2n+O(\sqrt{n})$ (простой факт). В следствии какая-то муть написана.

[Padawan]

vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):

с вероятностью

Что Вы подразумеваете под "вероятностью" в данном случае?

[Someone]

vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):

Функция Мебиуса $\mu(n)$ при любом натуральном значении $n$ является случайным блужданием.

Что, прямо так при каждом $n$ своё "случайное блуждание"? Я как-то был уверен, что $\mu(n)$ — это просто некоторое число, а Вы утверждаете, что не число, а целое "случайное блуждание".

[Padawan]

(Оффтоп)

Три последних комментария расположены в порядке возрастания критичности

[vicvolf]

Padawan в сообщении #1449061 писал(а):

Что Вы подразумеваете под "вероятностью" в данном случае?

RIP в сообщении #1256452 писал(а):

Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}n}$.
Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$. В частности, можно говорить о мат. ожидании $\mathbb{E}\xi_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и дисперсии $\mathbb{D}\xi_{n}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}-\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}\right\rvert^{2}-\left\lvert\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\bigl\lvert f(k)\bigr\rvert^{2}-\left\lvert\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\right\rvert^{2}$, а для вещественной $f$ — о функции распределения $F_{\xi_{n}}(x)=\frac{1}{n}\bigl\lvert\{k\leqslant n:f(k)\leqslant x\}\bigr\rvert$ и характеристической функции $\varphi_{\xi_{n}}(t)=\mathbb{E}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t\xi_{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tf(k)}$.

Таким образом, в качестве множества элементарных событий (исходов) берем начальный отрезок натурального ряда, в качестве множества всех случайных событий берем множество всех подмножеств начального отрезка натурального ряда. Тогда в качестве вероятностной меры берем отношение числа элементов множества $A$ к $n$, т.е. плотность множества $A$.
В нашем случае множеством $A$ являются либо натуральные числа, имеющие нечетное или четное число простых делителей первой степени, либо натуральные числа, не свободные от квадратов.

-- 29.03.2020, 11:19 --

Someone в сообщении #1449068 писал(а):

vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):

Функция Мебиуса $\mu(n)$ при любом натуральном значении $n$ является случайным блужданием.

Что, прямо так при каждом $n$ своё "случайное блуждание"? Я как-то был уверен, что $\mu(n)$ — это просто некоторое число, а Вы утверждаете, что не число, а целое "случайное блуждание".

Да, лучше переформулировать утверждение следующим образом:

В $n$-ом вероятностном пространстве (указанном выше) функция Мебиуса является случайной величиной, принимающей три значения:$-1,1,0$. При этом $\mu(n)=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$\mu(n)=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $\mu(n)=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1449193 писал(а):

Утверждение
В $n$-ом вероятностном пространстве (указанном выше) функция Мебиуса является случайной величиной, принимающей три значения:$-1,1,0$. При этом $\mu(n)=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$\mu(n)=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $\mu(n)=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.

Пусть случайные величины: $g_1,g_2,...g_n,...$ принимают значения функции Мебиуса.

Таким образом: $g_1(1)=\mu(1); g_2(1)=\mu(1),g_2(2)=\mu(2);...;g_n(1)=\mu(1),...,g_n(n)=\mu(n);...$.

Тогда на основании указанного утверждения справедливо следствие.

Следствие

Начиная с некоторого достаточно большого $n$ случайные величины: $g_{n+1},g_{n+2},...$ имеют распределение $\nu_1=\nu_2=3/\pi^2,\nu_3=1-6/\pi^2$, т.е. имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием и дисперсией соответственно: $E[g_m]=0,D[g_m]=6/\pi^2$ при $m>n$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1450385 писал(а):

Следствие

Начиная с некоторого достаточно большого $n$ случайные величины: $g_{n+1},g_{n+2},...$ имеют распределение $\nu_1=\nu_2=3/\pi^2,\nu_3=1-6/\pi^2$, т.е. имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием и дисперсией соответственно: $E[g_m]=0,D[g_m]=6/\pi^2$ при $m>n$.

А куда это o-маленькие подевались? И что это за волшебное "достаточно большое $n$"?

[vicvolf]

nnosipov Это означает, что можно выбрать такое достаточно большое значение $n$, что ошибкой указанных формул можно пренебречь.

[nnosipov]

И к чему тогда это очередное мутное следствие, если оно содержит формулы с ошибкой (и об этом даже ни слова не сказано)? Разумеется, Вы можете пренебрегать чем угодно, только к математике это не будет иметь отношения.

[vicvolf]

nnosipov Спасибо, учту.

[vicvolf]

Утверждение 2

Пусть случайные величины: $g_1,g_2,...g_n$ находятся в одном вероятностном пространстве и принимают значения функции Мебиуса.

Таким образом: $g_1(1)=\mu(1); g_2(1)=\mu(1),g_2(2)=\mu(2);...;g_n(1)=\mu(1),...,g_n(n)=\mu(n)$.

Тогда функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=l+1}^n {g_k}$, где $l$ -член последовательности A028442 в OEIS, где функция Мертенса $M(l)=0$.

Доказательство

Функцию Мертенса $M(n)=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}$ на основании выше сказанного можно представить, как последовательность случайных величин $S_k(k=1,...,n)$ принимающих значение:

$S_1(1)=S(1)=\mu(1);S_2(1)=S(1)=\mu(1),$S_2(2)=S(2)$=\mu(1)+\mu(2);...;S_n(1)=\mu(1),...,S(n)=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}$. Таким образом, функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=1}^n {g_k}$.

С другой стороны, функцию Мертенса можно представить в виде: $M(n)=M(l)+\sum_{k=l+1}^n {\mu(k)}=\sum_{k=l+1}^n {\mu(k)}$, учитывая, что $M(l)=0$.

Следовательно, функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=l+1}^n {g_k}$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1450483 писал(а):

Пусть случайные величины: $g_1,g_2,...g_n$ находятся в одном вероятностном пространстве

Откройте учебник и прочтите там, что такое вероятностное пространство, что такое случайная величина. После этого ответьте на вопрос, может ли случайная величина (и тем более несколько случайных величин) находится в вероятностном пространстве.

Да, и о каком таком "одном вероятностном пространстве" идет речь? Объявите его.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1450610 писал(а):

ответьте на вопрос, может ли случайная величина (и тем более несколько случайных величин) находится в вероятностном пространстве.

Неточно выразился. Случайная величина определена на вероятностном пространстве.

Цитата:

Да, и о каком таком "одном вероятностном пространстве" идет речь? Объявите его.

Я в теме уже отвечал на этот вопрос. Хочу добавить, что арифметическую функцию можно рассматривать, как последовательность случайных величин: $g_1,g_2,...,g_n$, каждая из которых определена на своем вероятностном пространстве. Поэтому, чтобы рассмотреть сумму указанных случайных величин, я предпологаю, что все они определены на одном $n$-ом вероятностном пространстве.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1450770 писал(а):

Поэтому, чтобы рассмотреть сумму указанных случайных величин, я предпологаю, что все они определены на одном $n$-ом вероятностном пространстве.

В частности, $g_1$ определена на $\{1,2,\dots,n\}$. Как именно? Чему равно $g_1(2)$ и т.д.? Выше Вы написали только, что $g_1(1)=1$.