2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение04.04.2020, 14:05 


23/02/12
3110
Я рассматриваю некоторую случайную величину, равную сумме случайных величин и меня интересуют характеристики этой случайной величины, которые зависят только от ее распределения. Естественно все эти случайные величины определены на одном вероятностном пространстве, но для определения характеристик случайной величины совершенно не важно, на каком вероятностном пространстве они определены. Я уже писал об этом на форуме:
vicvolf в сообщении #1401032 писал(а):
Когда экспериментатор имеет дело со случайными величинами, то основной вопрос, который его интересует, - это вопрос с какими вероятностями эта случайная величина принимает те или иные значения. С этой точки зрения интерес представляет не распределение вероятностей $P$ на $(\Omega,A)$, а распределение вероятностей на множестве значений случайной величины. (cтр. 44 А.Н. Ширяев, Вероятность).
Действительно для того, чтобы определить характеристики дискретной случайной величины, например математическое ожидание, нужно знать только значения случайной величины и вероятности этих значений, т.е. распределения вероятностей на множестве значений случайной величины. Задавать вероятностное пространство для определения характеристик случайной величины не требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение04.04.2020, 14:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vicvolf в сообщении #1451179 писал(а):
Когда экспериментатор имеет дело со случайными величинами, то основной вопрос, который его интересует, - это вопрос с какими вероятностями эта случайная величина принимает те или иные значения. С этой точки зрения интерес представляет не распределение вероятностей $P$ на $(\Omega,A)$, а распределение вероятностей на множестве значений случайной величины. (cтр. 44 А.Н. Ширяев, Вероятность).
Ага. И это называется "выборочное вероятностное пространство". Ну, тогда опишите выборочное вероятностное пространство для вашего случая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение05.04.2020, 11:39 


23/02/12
3110
В моем случае эксперимент не проводится. Это просто пример из Ширяева.

В первом утверждении было доказано, что случайная величина $g_n$, принимающая значение функции Мебиуса, имеет следующее распределение: $g_n=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$g_n=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $g_n=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.


Отсюда следует, что математическое ожидание случайной величины $g_n$ равно:

$E(g,n]=\nu_2(n)-\nu_1(n)=o(1)$.


Во втором утверждении показано, что функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=l+1}^n {g_k}$, где $l$ -член последовательности A028442 в OEIS, где функция Мертенса $M(l)=0$.

Закон повторного логарифма можно записать в виде. Почти всюду для случайной величины $S_n=\sum_{k=1}^n {g_k}$, где $g_k(k=1,...,n)$ независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием $E[g_k]=0$ и дисперсией $D[g_k]=\sigma^2$, выполняется: $sup |S_n|/\sigma(2\log\log(n))^{1/2}=1+o(1)$.

Далее несколько слов о независимости случайных величин и окончательное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение05.04.2020, 12:41 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vicvolf в сообщении #1451480 писал(а):
Далее несколько слов о независимости случайных величин и окончательное утверждение.
Вы сначала ответьте на предыдущие вопросы. Итак, что в утверждении 2 обозначает символ $g_1$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение05.04.2020, 15:32 


23/02/12
3110
nnosipov в сообщении #1451502 писал(а):
[Вы сначала ответьте на предыдущие вопросы. Итак, что в утверждении 2 обозначает символ $g_1$?
Я уже ответил
vicvolf в сообщении #1451179 писал(а):
Я рассматриваю некоторую случайную величину, равную сумме случайных величин и меня интересуют характеристики этой случайной величины, которые зависят только от ее распределения. Естественно все эти случайные величины определены на одном вероятностном пространстве, но для определения характеристик случайной величины совершенно не важно, на каком вероятностном пространстве они определены.
Добавлю, что $g_1$ - это вырожденная случайная величина с распределением: с вероятностью 1 значение $g_1(1)=\mu(1)$. Все остальные значения принимаются с вероятностью равной 0. При построении случайной величины в $n$ -ом вероятностном пространстве распределение случайной величины сохранилось. Аналогично для случайных величин: $g_2,...,g_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение05.04.2020, 15:55 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vicvolf в сообщении #1451574 писал(а):
с вероятностью 1 значение $g_1(1)=\mu(1)$. Все остальные значения принимаются с вероятностью равной 0.
Это значит, что $g_1$ --- константа (равная $\mu(1)$) на $\{1,2,\dots,n\}$.

Тот же вопрос относительно $g_2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение05.04.2020, 16:15 


23/02/12
3110
nnosipov в сообщении #1451584 писал(а):
Тот же вопрос относительно $g_2$.
Я уже писал выше. Распределение случайной величины сохраняется. С вероятностью $1/2$ значение $g_2(1)=\mu(1)$, с вероятностью $1/2$ - $g_2(2)=\mu(2)$. Все остальные значения принимаются случайной величиной c вероятностью $0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение05.04.2020, 17:13 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Тот же вопрос относительно $g_3$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение06.04.2020, 17:12 


23/02/12
3110
nnosipov Спасибо, я нашел ошибку в утверждении 2.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение06.04.2020, 20:32 


26/12/18
155
не быть, видимо, революционной оценке (повторному логарифму) ошибки распределения простых
vicvolf в сообщении #1451480 писал(а):
$sup |S_n|/\sigma(2\log\log(n))^{1/2}=1+o(1)$.
чью пыль лошадке-гипотезе Римана пришлось бы якобы дышать в обозе... :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение09.04.2020, 18:13 


23/02/12
3110
vicvolf в сообщении #1451950 писал(а):
nnosipov Спасибо, я нашел ошибку в утверждении 2.
Я первоначально разместил утверждение в разделе "Помогите решить, разобраться", так как не уверен в справедливости данных утверждений и хочу в этом разобраться.
Кстати хочу уточнить формулу в законе повторного логарифма
vicvolf в сообщении #1451480 писал(а):
Закон повторного логарифма можно записать в виде. Почти всюду для случайной величины $S_n=\sum_{k=1}^n {g_k}$, где $g_k(k=1,...,n)$ независимые одинаково распределенные случайные величины с математическим ожиданием $E[g_k]=0$ и дисперсией $D[g_k]=\sigma^2$, выполняется: $sup |S_n|/\sigma(2n\log\log(n ))^{1/2}=1+o(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение10.04.2020, 10:46 


23/02/12
3110
Действительно при построении случайных величин на $n$- ом вероятностном пространстве изменяются значения случайных величин и соответственно сами случайные величины.

Обозначим случайные величины, соответствующие функции Мебиуса, определенные на $n$- ом вероятностном пространстве: $g'_1,g'_2,...,g'_n$.

Тогда, значения этих случайных величин соответственно равны:

$g'_1(1)=\mu(1),...,g'_1(n)=\mu(1);g'_2(1)=\mu(1),g'_2(2)=\mu(2),...,g'_2(n-1)=$$\mu(1),g'_2(n)=\mu(2);...;g'_n(1)=\mu(1),...,g'_n(n)=\mu(n)$.

При этом распределение случайных величин и соответственно характеристики (мат. ожидание, дисперсия и.т.д) сохраняются и соответствуют распределению и характеристикам случайных величин: $g_1,g_2,...,g_n$.

Поэтому для распределения случайных величин $g'_1,g'_2,...,g'_n$ справедливо утверждение 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение10.04.2020, 12:52 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
vicvolf в сообщении #1453277 писал(а):
Тогда, значения этих случайных величин соответственно равны:

$g'_1(1)=\mu(1),...,g'_1(n)=\mu(1);g'_2(1)=\mu(1),g'_2(2)=\mu(2),...,g'_2(n-1)=$$\mu(1),g'_2(n)=\mu(2);...;g'_n(1)=\mu(1),...,g'_n(n)=\mu(n)$.
Непонятно: $g'_2(n-1)=\mu(1)$? Напишите более подробно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение10.04.2020, 15:06 


23/02/12
3110
nnosipov в сообщении #1453302 писал(а):
vicvolf в сообщении #1453277 писал(а):
Тогда, значения этих случайных величин соответственно равны:

$g'_1(1)=\mu(1),...,g'_1(n)=\mu(1);g'_2(1)=\mu(1),g'_2(2)=\mu(2),...,g'_2(n-1)=$$\mu(1),g'_2(n)=\mu(2);...;g'_n(1)=\mu(1),...,g'_n(n)=\mu(n)$.
Непонятно: $g'_2(n-1)=\mu(1)$? Напишите более подробно.
Это частный случай. Важно, что в общем случае, можно построить случайные величины с сохранением распределения.
Это следует из А.А. Боровков "Теория вероятностей", 1999 г. на основании Замечания 4 на стр. 123 (из утверждения 1 следует, что имеется сходимость по распределению последовательности случайных величин $g_1,g_2,...$) и Леммы 3 на стр. 123 (из сходимости по распределению последовательности случайных величин $g_1,g_2,...$ в одном вероятностном пространстве можно построить случайные величины $g'_1,g'_2,...$, сохраняющие распределение).

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение10.04.2020, 15:26 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Опять какой-то бред пошел. Все уже давно знают, что ловить рыбку в мутной водичке это Ваше любимое занятие. Но вряд ли кто-нибудь здесь составит Вам компанию в этом. За сим adieu.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 32 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group