2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение28.03.2020, 19:12 


23/02/12
3372
Утверждение

Функция Мебиуса $\mu(n)$ при любом натуральном значении $n$ является случайным блужданием. При этом $\mu(n)=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$\mu(n)=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $\mu(n)=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.

Доказательство

Рассмотрим начальный интервал натурального ряда $[1,n]$ . Допустим, что на этом интервале имеется $1 \leq k \leq n$ натуральных чисел, имеющих простые делители только в первой степени . Пусть из указанных $k$ натуральных чисел имеют $k_1$ нечетное число простых делителей и $k_2$ имеют четное число простых делителей $(k=k_1+k_2)$ .

Обозначим плотность количества натуральных чисел, имеющих нечетное число простых делителей свободных от квадратов - $\nu_1=k_1/n (\mu(n)=-1)$, а плотность количества натуральных чисел, имеющих четное число простых делителей свободных от квадратов - $\nu_2=k_2/n (\mu(n)=1)$. Тогда плотность количества натуральных чисел, имеющих простые делители также степени выше первой, будет равна $\nu_3=1-\nu_1-\nu_2( \mu(n)=0)$.

На основании вышесказанного функцию Мертенса в точке можно записать в виде:
$M(n)=n(\nu_2-\nu_1)$. (1)

Учитывая (1) среднее значение функции Мебиуса на отрезке $[1,n]$ равно:
$E[\mu,n]=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}/n=M(n)/n=\nu_2-\nu_1=o(1)$. (2)

Известно, что плотность натуральных чисел на отрезке $[1,n]$ , имеющих простые делители только первой степени (свободных от квадратов), равна:
$\nu_1+\nu_2=6/\pi^2+o(1)$. (3)

Суммируя (2) и (3), получим:
$\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ , $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ , $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$. (4)


Указанные последовательности количества нечетных, четных простых делителей первой степени и количества простых делителей также степени выше первой степени натурального числа на интервале $[1,n]$ являются строго возрастающими, поэтому указанные плотности натуральных чисел: $\nu_1,\nu_2,\nu_3$ являются вероятностями, что соответствует утверждению.

Следствие

Функция Мертенса в точке $n$ - $M(n)$ на основании утверждения и формулы $M(n)=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}$ является суммой случайных блужданий.

Правильные ли утверждение и следствие?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение28.03.2020, 19:55 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):
Правильные ли утверждение и следствие?
Утверждение очевидно по модулю двух фактов: $\sum_{k=1}^n\mu(k)=o(n)$ (сложный факт) и $\sum_{k=1}^n\mu^2(k)=6/\pi^2n+O(\sqrt{n})$ (простой факт). В следствии какая-то муть написана.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение28.03.2020, 20:55 
Заслуженный участник


13/12/05
4620
vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):
с вероятностью

Что Вы подразумеваете под "вероятностью" в данном случае?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение28.03.2020, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17986
Москва
vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):
Функция Мебиуса $\mu(n)$ при любом натуральном значении $n$ является случайным блужданием.
Что, прямо так при каждом $n$ своё "случайное блуждание"? Я как-то был уверен, что $\mu(n)$ — это просто некоторое число, а Вы утверждаете, что не число, а целое "случайное блуждание".

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение28.03.2020, 21:28 
Заслуженный участник


13/12/05
4620

(Оффтоп)

Три последних комментария расположены в порядке возрастания критичности :lol:

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение29.03.2020, 11:06 


23/02/12
3372
Padawan в сообщении #1449061 писал(а):
Что Вы подразумеваете под "вероятностью" в данном случае?
RIP в сообщении #1256452 писал(а):
Любой начальный отрезок натурального ряда $\{1,2,\dotsc,n\}$ можно естественным образом превратить в вероятностное пространство $\left(\Omega_{n},\mathcal{A}_{n},\mathbb{P}_{n}\right)$, взяв $\Omega_{n}=\{1,2,\dotsc,n\}$, $\mathcal{A}_{n}$ — все подмножества $\Omega_{n}$, $\mathbb{P}_{n}(A)=\frac{|A|}n}$.
Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию $f(k)$ натурального аргумента (а точнее, её ограничение на $\Omega_{n}$) можно рассматривать как случайную величину $\xi_{n}$ на этом вероятностном пространстве: $\xi_{n}(k)=f(k)$, $1\leqslant k\leqslant n$. В частности, можно говорить о мат. ожидании $\mathbb{E}\xi_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)$ и дисперсии $\mathbb{D}\xi_{n}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}-\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\mathbb{E}\left\lvert\xi_{n}\right\rvert^{2}-\left\lvert\mathbb{E}\xi_{n}\right\rvert^{2}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\bigl\lvert f(k)\bigr\rvert^{2}-\left\lvert\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}f(k)\right\rvert^{2}$, а для вещественной $f$ — о функции распределения $F_{\xi_{n}}(x)=\frac{1}{n}\bigl\lvert\{k\leqslant n:f(k)\leqslant x\}\bigr\rvert$ и характеристической функции $\varphi_{\xi_{n}}(t)=\mathbb{E}\mathrm{e}^{\mathrm{i}t\xi_{n}}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\mathrm{e}^{\mathrm{i}tf(k)}$.
Таким образом, в качестве множества элементарных событий (исходов) берем начальный отрезок натурального ряда, в качестве множества всех случайных событий берем множество всех подмножеств начального отрезка натурального ряда. Тогда в качестве вероятностной меры берем отношение числа элементов множества $A$ к $n$, т.е. плотность множества $A$.
В нашем случае множеством $A$ являются либо натуральные числа, имеющие нечетное или четное число простых делителей первой степени, либо натуральные числа, не свободные от квадратов.

-- 29.03.2020, 11:19 --

Someone в сообщении #1449068 писал(а):
vicvolf в сообщении #1449004 писал(а):
Функция Мебиуса $\mu(n)$ при любом натуральном значении $n$ является случайным блужданием.
Что, прямо так при каждом $n$ своё "случайное блуждание"? Я как-то был уверен, что $\mu(n)$ — это просто некоторое число, а Вы утверждаете, что не число, а целое "случайное блуждание".
Да, лучше переформулировать утверждение следующим образом:

В $n$-ом вероятностном пространстве (указанном выше) функция Мебиуса является случайной величиной, принимающей три значения:$-1,1,0$. При этом $\mu(n)=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$\mu(n)=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $\mu(n)=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение02.04.2020, 10:34 


23/02/12
3372
vicvolf в сообщении #1449193 писал(а):
Утверждение
В $n$-ом вероятностном пространстве (указанном выше) функция Мебиуса является случайной величиной, принимающей три значения:$-1,1,0$. При этом $\mu(n)=-1$ с вероятностью $\nu_1=3/\pi^2+o(1)$ ,$\mu(n)=1$ с вероятностью $\nu_2=3/\pi^2+o(1)$ и $\mu(n)=0$ с вероятностью $\nu_3=1-6/\pi^2+o(1)$.

Пусть случайные величины: $g_1,g_2,...g_n,...$ принимают значения функции Мебиуса.

Таким образом: $g_1(1)=\mu(1); g_2(1)=\mu(1),g_2(2)=\mu(2);...;g_n(1)=\mu(1),...,g_n(n)=\mu(n);...$.

Тогда на основании указанного утверждения справедливо следствие.

Следствие

Начиная с некоторого достаточно большого $n$ случайные величины: $g_{n+1},g_{n+2},...$ имеют распределение $\nu_1=\nu_2=3/\pi^2,\nu_3=1-6/\pi^2$, т.е. имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием и дисперсией соответственно: $E[g_m]=0,D[g_m]=6/\pi^2$ при $m>n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение02.04.2020, 10:54 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
vicvolf в сообщении #1450385 писал(а):
Следствие

Начиная с некоторого достаточно большого $n$ случайные величины: $g_{n+1},g_{n+2},...$ имеют распределение $\nu_1=\nu_2=3/\pi^2,\nu_3=1-6/\pi^2$, т.е. имеют одинаковое распределение с математическим ожиданием и дисперсией соответственно: $E[g_m]=0,D[g_m]=6/\pi^2$ при $m>n$.
А куда это o-маленькие подевались? И что это за волшебное "достаточно большое $n$"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение02.04.2020, 12:01 


23/02/12
3372
nnosipov Это означает, что можно выбрать такое достаточно большое значение $n$, что ошибкой указанных формул можно пренебречь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение02.04.2020, 12:10 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
И к чему тогда это очередное мутное следствие, если оно содержит формулы с ошибкой (и об этом даже ни слова не сказано)? Разумеется, Вы можете пренебрегать чем угодно, только к математике это не будет иметь отношения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение02.04.2020, 12:52 


23/02/12
3372
nnosipov Спасибо, учту.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение02.04.2020, 16:55 


23/02/12
3372
Утверждение 2

Пусть случайные величины: $g_1,g_2,...g_n$ находятся в одном вероятностном пространстве и принимают значения функции Мебиуса.

Таким образом: $g_1(1)=\mu(1); g_2(1)=\mu(1),g_2(2)=\mu(2);...;g_n(1)=\mu(1),...,g_n(n)=\mu(n)$.

Тогда функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=l+1}^n {g_k}$, где $l$ -член последовательности A028442 в OEIS, где функция Мертенса $M(l)=0$.

Доказательство

Функцию Мертенса $M(n)=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}$ на основании выше сказанного можно представить, как последовательность случайных величин $S_k(k=1,...,n)$ принимающих значение:

$S_1(1)=S(1)=\mu(1);S_2(1)=S(1)=\mu(1),$S_2(2)=S(2)$=\mu(1)+\mu(2);...;S_n(1)=\mu(1),...,S(n)=\sum_{k=1}^n {\mu(k)}$. Таким образом, функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=1}^n {g_k}$.

С другой стороны, функцию Мертенса можно представить в виде: $M(n)=M(l)+\sum_{k=l+1}^n {\mu(k)}=\sum_{k=l+1}^n {\mu(k)}$, учитывая, что $M(l)=0$.

Следовательно, функцию Мертенса можно представить, как $\sum_{k=l+1}^n {g_k}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение02.04.2020, 20:22 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
vicvolf в сообщении #1450483 писал(а):
Пусть случайные величины: $g_1,g_2,...g_n$ находятся в одном вероятностном пространстве
Откройте учебник и прочтите там, что такое вероятностное пространство, что такое случайная величина. После этого ответьте на вопрос, может ли случайная величина (и тем более несколько случайных величин) находится в вероятностном пространстве.

Да, и о каком таком "одном вероятностном пространстве" идет речь? Объявите его.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение03.04.2020, 11:00 


23/02/12
3372
nnosipov в сообщении #1450610 писал(а):
ответьте на вопрос, может ли случайная величина (и тем более несколько случайных величин) находится в вероятностном пространстве.
Неточно выразился. Случайная величина определена на вероятностном пространстве.
Цитата:
Да, и о каком таком "одном вероятностном пространстве" идет речь? Объявите его.
Я в теме уже отвечал на этот вопрос. Хочу добавить, что арифметическую функцию можно рассматривать, как последовательность случайных величин: $g_1,g_2,...,g_n$, каждая из которых определена на своем вероятностном пространстве. Поэтому, чтобы рассмотреть сумму указанных случайных величин, я предпологаю, что все они определены на одном $n$-ом вероятностном пространстве.

 Профиль  
                  
 
 Re: Утверждение о функции Мебиуса
Сообщение03.04.2020, 11:21 
Заслуженный участник


20/12/10
9109
vicvolf в сообщении #1450770 писал(а):
Поэтому, чтобы рассмотреть сумму указанных случайных величин, я предпологаю, что все они определены на одном $n$-ом вероятностном пространстве.
В частности, $g_1$ определена на $\{1,2,\dots,n\}$. Как именно? Чему равно $g_1(2)$ и т.д.? Выше Вы написали только, что $g_1(1)=1$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 32 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group