Задача по геометрии

[oleg.k]

Дан произвольный четырехугольник $ABCD$. Точки $M, N, P, Q$ - середины сторон соответственно $AD, AB, BC, CD$. $O$ - точка пересечения $MP$ и $NQ$. Доказать, что прямые $NQ$ и $MP$ точкой пересечения делятся пополам.

Понятно дело, что $MNPQ$ - параллелограмм. Это следует из теоремы Вариньена. $NQ$ и $MP$ - диагонали в этом параллелограмме и поэтому по свойству параллелограмма они точкой пересечения делятся пополам. Вот и все решение. Но я хочу эту задачу решить "только векторами" и вообще без классики. Достаточно доказать, что $\overline{MO} = \overline{OP}$ и что $\overline{NO} = \overline{OQ}$. Но как это доказать, я не знаю. Подскажите идейку.

-- 10.03.2020, 21:47 --

Я тут с правкой слегка намудрил, вроде исправил.

[arseniiv]

Теорему Вариньона можно доказать «в векторах», потом останется из $a + b = a' + b', a + b' = a' + b$ вывести $a = a', b = b'$ (суммы равны векторам сторон параллелепипеда).

-- Ср мар 11, 2020 01:44:05 --

Может быть оно упростится во что-то монолитное, а может нет.

[Xaositect]

Так все то же самое, теорема Вариньона в векторах будет соответствовать тому, что $(M+P)/2 = (N+Q)/2 = (A + B + C + D)/4$

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1444218 писал(а):

Теорему Вариньона можно доказать «в векторах»

Например, вот так.

Докажем, что $MNPQ$ - параллелограмм.
$\overline{NP}$ = $\overline{NB}$ + $\overline{BP}$ = $\frac{1}{2} \overline{AB}$ + $\frac{1}{2} \overline{BC}$ = $\frac{1}{2}[\overline{AB} + \overline{BC}]$ = $\frac{1}{2} \overline{AC}$
$\overline{MQ} = \overline{MD} + \overline{DQ} = \frac{1}{2} \overline{AD} + \frac{1}{2} \overline{DC} = \frac{1}{2}[\overline{AD} + \overline{DC}] = \frac{1}{2} \overline{AC}$
Видим, что $\overline{NP}= \overline{MQ}$, следовательно $MNPQ$ - параллелограмм.
А дальше надо доказать, что диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, т.е. доказать, что что $\overline{MO} = \overline{OP}$. Вот с этим и проблема у меня.

Xaositect в сообщении #1444229 писал(а):

Так все то же самое, теорема Вариньона в векторах будет соответствовать тому, что $(M+P)/2 = (N+Q)/2 = (A + B + C + D)/4$

А можете прояснить смысл этих букв? А то вектор вроде двумя буквами обозначается

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1444364 писал(а):

А дальше надо доказать, что диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, т.е. доказать, что что $\overline{MO} = \overline{OP}$. Вот с этим и проблема у меня.

Вот же:

arseniiv в сообщении #1444218 писал(а):

останется из $a + b = a' + b', a + b' = a' + b$ вывести $a = a', b = b'$ (суммы равны векторам сторон параллелепипеда)

Тут $a, a'$ — сонаправленные векторы—половинки одной диагонали и $b, b'$ — другой, а равенства их сумм это равенства векторов—сторон параллелограмма.

-- Ср мар 11, 2020 21:31:43 --

Ой, вчера выглядело нормально, а сегодня самому кажется, что уравнения какие-то не те.

[Xaositect]

oleg.k в сообщении #1444364 писал(а):

А можете прояснить смысл этих букв? А то вектор вроде двумя буквами обозначается

Радиус-векторы точек относительно произвольного начала координат (но вообще это лишнее, аффинные комбинации точек - это корректно определенные вещи).

[oleg.k]

arseniiv в сообщении #1444366 писал(а):

Тут $a, a'$ — сонаправленные векторы—половинки одной диагонали и $b, b'$ — другой, а равенства их сумм это равенства векторов—сторон параллелограмма.

А совместимы ли Ваши два равенства? У меня вот это равенство $a + b' = a' + b$ вроде ложным оказывается, если первое истинно.

-- 11.03.2020, 20:01 --

Хотя нет. Равенство то истинно, вот только как Вы к нему пришли?

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1444364 писал(а):

А дальше надо доказать, что диагонали в параллелограмме точкой пересечения делятся пополам, т.е. доказать, что что $\overline{MO} = \overline{OP}$. Вот с этим и проблема у меня.

Печально. А делить вектор пополам Вы умеете?

[arseniiv]

oleg.k в сообщении #1444377 писал(а):

Равенство то истинно, вот только как Вы к нему пришли?

Видимо, путём перепутывания знаков в голове. В общем первое равенство оставляем как и раньше, добавляем забытое мной всё-таки вчера условия линейной зависимости $a, a'$ и $b, b'$ (иначе ничего нужного следовать и не должно), а дальше я почему-то не могу не рассмотреть отдельно случай линейно независимых $a, b$ и отдельно случай линейно зависимых, хотя должно делаться всё одинаково.

[oleg.k]

nnosipov в сообщении #1444378 писал(а):

Печально. А делить вектор пополам Вы умеете?

А какой? Может по ходу дела разберусь.

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1444408 писал(а):

А какой?

Попробуйте догадаться самостоятельно. Там не так много вариантов.

[TOTAL]

oleg.k в сообщении #1444150 писал(а):

Доказать, что прямые $NQ$ и $MP$ точкой пересечения делятся пополам.

Докажите, что середина $NQ$ и середина $MP$ совпадают.

[oleg.k]

nnosipov в сообщении #1444427 писал(а):

Попробуйте догадаться самостоятельно. Там не так много вариантов.

Я не знаю. Могу предположить, что Вы про вектор $\overline{MP}$ или $\overline{NQ}$. Они? И что значит "поделить вектор пополам"? Ну поделил я его и что мне делать дальше с ним?

[Munin]

Как найти радиус-вектор точки, находящейся посередине между двумя заданными точками с заданными радиус-векторами?

[nnosipov]

oleg.k в сообщении #1444435 писал(а):

Ну поделил я его и что мне делать дальше с ним?

Посмотреть на него. Подумать. Соотнести с тем, что хочется доказать. Сформулировать рабочую гипотезу. Доказать ее.

Вот такой вот план действий. Увы, подробней написать не могу, ибо Заратустра не позволяет опасаюсь санкций со стороны модераторов (за полные решения простых учебных задач они сильно карают).