Задача по геометрии

[eugensk]

eugensk в сообщении #1444471 писал(а):

Вы доказываете, что середина отрезка $MP$ будет также серединой отрезка $NQ$, правильно?

oleg.k в сообщении #1444472 писал(а):

Я доказываю, что точка пересечения $O$ отрезков $MP$ и $NQ$ является серединой каждого из них.

Если принять, что у двух отрезков есть ровно по одной середине, и есть ровно одна точка пересечения, то утверждения выше эквивалентны.

[oleg.k]

Munin в сообщении #1444475 писал(а):

О. Отлично. Ну и проделайте эту операцию шесть раз, ровно как в условиях задачи перечислено.

Какие 6 раз? Не понимаю это место.

Munin в сообщении #1444475 писал(а):

Можно так: найдите середину $O_1$ отрезка $MP.$ Найдите середину $O_2$ отрезка $NQ.$ Внимательно посмотрите на них.

А что значит "найти середину"? Если бы была задана система координат, то "найти точку" - это найти упорядоченный набор из $n$ $(n \geqslant 1)$ чисел. Но в задаче никакой системы координат не фигурирует. И вводить ее не надо.

eugensk в сообщении #1444481 писал(а):

Если принять, что у двух отрезков есть ровно по одной середине, и есть ровно одна точка пересечения, то утверждения выше эквивалентны.

Скорее всего да.

-----------------------------------
-----------------------------------

Смог я вроде бы доказать.

Итак, докажем, что $O$ - середина $MP$ и $O$ - середина отрезка $NQ$. Для произвольной точки $K$ плоскости справедливо следующее: $\overline{KN} + \overline{KQ} = \overline{KM} + \overline{KP}$ (доказывается тривиально). Выберем в качестве точки $K$ точку $O$. Получим: $\overline{ON} + \overline{OQ} = \overline{OM} + \overline{OP}$. Вектор $\overline{ON} + \overline{OQ}$ коллинеарен прямой $NQ$, а вектор $\overline{OM} + \overline{OP}$ коллинеарен прямой $MP$. Векторы равны тогда и только тогда, когда равны их модули и они сонаправлены (а следовательно коллинеарны). Если векторы $\overline{ON} + \overline{OQ}$ и $\overline{OM} + \overline{OP}$ равны, то их длины обязаны быть нулевыми, т.к. в противном случае окажутся равными два ненулевых неколлинеарных вектора (т.к. прямые $MP$ и $NQ$ не являются параллельными), чего быть не может. Получили, что $\overline{ON} + \overline{OQ} = 0$, следовательно $\overline{QO} = \overline{ON}$, следовательно $O$ - середина отрезка $QN$. Аналогично, $\overline{OM} + \overline{OP} = 0$, следовательно $\overline{MO} = \overline{OP}$, следовательно $O$ - середина отрезка $MP$, чтд.


Но хотелось бы все же узнать, как должно выглядеть доказательство, о котором речь шла выше, и которое я не смог воспроизвести. Вот я в упор не вижу, как с помощью вот этого утверждения

oleg.k в сообщении #1444448 писал(а):

Т.е. если дан вектор $\overline{AB}$ и $O$ - произвольная точка плоскости, а $C$ - середина $\overline{AB}$, то $\overline{OC} = \frac{1}{2} [\overline{OA} + \overline{OB}]$

доказать эту теорему.

[Munin]

oleg.k в сообщении #1444509 писал(а):

А что значит "найти середину"?

Всё, там уже звучат подозрения в троллинге, я выхожу из разговора. Только что вы могли найти середину, а теперь уже спрашиваете, что это значит.

[eugensk]

oleg.k в сообщении #1444509 писал(а):

Скорее всего да.

Скорее всего? Вам бы порешать чего-нибудь такого, что вырабатывает уверенность. Больше задач на рассуждение, необязательно из геометрии.

[oleg.k]

Возможно, имеется в виду нечто подобное? Вектор $\overline{MO_{1}}$, соединяющий точку $M$ и середину $O_{1}$ отрезка $NQ$ равен $\frac{1}{2} [\overline{MN} + \overline{MQ}]$. Вектор $\overline{MN} + \overline{MQ} = \overline{MP}$, следовательно вектор $\overline{MO_{1}}$ коллинеарен вектору $\overline{MP}$. Раз эти два коллинеарных вектора имеют общую точку $M$, то они лежат на одной прямой $MP$. Единственная точка прямой $NQ$, лежащая на прямой $MP$ - это точка $O$. Следовательно, $O$ - середина отрезка $NQ$. Для $MP$ аналогично. Это имелось в виду?

Munin в сообщении #1444514 писал(а):

Всё, там уже звучат подозрения в троллинге, я выхожу из разговора. Только что вы могли найти середину, а теперь уже спрашиваете, что это значит.

Я могу выразить вектор, соединяющий произвольную точку плоскости с серединой данного отрезка через векторы, выходящие из этой точки и идущие к концам отрезка. Это не очень похоже на "найти" точку. Интересная у Вас получается стратегия: обвинять в троллинге собеседника, задавшего уточняющий вопрос.

[arseniiv]

Даже я уже понял. Смотрите. Обозначим $\overline{MN} = \overline{QP} = c$, $\overline{NP} = \overline{MQ} = d$, найдём середину $O_1$ отрезка $MP$: $O_1 = \frac12(M + P) = \frac12((Q - d) + (Q + c)) = Q + \frac12(c - d)$. Найдём середину $O_2$ отрезка $NQ$: $O_2 = \frac12(N + Q) = \frac12((Q + c - d) + Q) = Q + \frac12(c - d)$. Bingo! Вместо $Q$ можно брать любую вершину параллелограмма, количество выкладок будет одно и то же.

-- Чт мар 12, 2020 21:18:41 --

Теперь в принципе можно убрать точки из всех выкладок, оставив только векторы, но будет по-моему намного темнее. Именно потому то, что я там выше писал, вышло каким-то никаким.

[Munin]

oleg.k в сообщении #1444518 писал(а):

Это не очень похоже на "найти" точку.

А в чём же разница?

oleg.k в сообщении #1444518 писал(а):

Интересная у Вас получается стратегия: обвинять в троллинге собеседника

Извините, нет, я не обвинял.

[oleg.k]

Munin в сообщении #1444531 писал(а):

А в чём же разница?

Я понимаю фразу "найти точку" как указать ее координаты в некоторой заранее фиксированной системе координат. Ну сказали Вы вольную формулировку, я ее не понял. Бывает.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Я бы считал, что «найти точку» — это выразить её достаточно ясным образом через имеющиеся данные, а координаты ли указывать или аффинную комбинацию известных точек состряпать — не важно, главное чтобы легко было сравнивать у двух таких найденных точек, равны они или нет, и делать с ними другие вещи.

[Munin]

oleg.k в сообщении #1444534 писал(а):

Я понимаю фразу "найти точку" как указать ее координаты в некоторой заранее фиксированной системе координат.

А как "указать её радиус-вектор" не понимаете?

[feedinglight]

щас я буду рееезать...

Разрежем вдоль MP и NQ и склеим 4 осколка швами наружу, получится параллелограмм (смежные углы в сумме 180 так и остаются смежными, а противоположенные углы раньше были вертикальными, попарно равны)

Если ничё не путаю.

[Munin]

Изящно!

[oleg.k]

Munin в сообщении #1444580 писал(а):

А как "указать её радиус-вектор" не понимаете?

Для радиус-вектора выделенное начало отсчета нужно.

[arseniiv]

oleg.k
А моё исполнение как, понятное ли?

[Munin]

oleg.k в сообщении #1444607 писал(а):

Для радиус-вектора выделенное начало отсчета нужно.

А формулы и доказываемые ими факты меняются от того, что вы выберете вместо одного начала отсчёта другое? Если нет, то можно наплевать и считать, что вы работаете с точками независимо от начала отсчёта.