2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 38, 39, 40, 41, 42
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение08.02.2020, 10:15 
Аватара пользователя


25/08/19
36
Сегодня закончим с классификацией нулей Z, а о нулях Z' в след. выходные.
В сообщении #1434573 читаем "появляется аномальный промежуток, равный трем промежуткам Грама второго рода, на котором функция Харди не имеет ни одного нуля". А как назвать промежуток без корней, равный четырем промежуткам Грама второго рода? - поищем такой, на одном из скопившихся сканов, я обнаружил скан функции Харди около точки Грама с номером 9725646131432:
The function Z(t) around its Gram point-index 9725646131432 Изображение, где утверждалось, что Z не имеет корней на четырех Грам-интервала (обычных или первого рода) подряд. Из чередования точек Грама первого и второго рода (sin , cos) уже следует, что у cos не меньше 3-х интервалов без нулей.
Оцифруем этот рисунок:
Код:
T1cos = Tcos - 2381374874119 -> {0.625977, 0.862793, 1.09961, 1.33643, 1.57324, 1.81006, 2.04736, 2.27539}
T1sin = Tsin - 2381374874119 -> {0.5122602, 0.7479313, 0.9836024, 1.2192735, 1.4549446, 1.6906157, 1.9262868, 2.1619579}
Zs=N[RiemannSiegelZ[Tsin], 16] -> {-0.226325, 0.744812, 5.48924, 166.399, 368.084, 172.772, 7.67034, 0.405365} 
Zc=N[RiemannSiegelZ[Tcos], 16] -> {-0.669836, -0.0575727, 50.7895, 302.621, 307.668, 56.933, 0.0513084, 0.0289911}
RS = {}; k1 = 0; For[ k = k1, k <= 10, k = k + 1; AppendTo[RS, {T1sin[[k]], Zs[[k]]}]; AppendTo[RS, {T1cos[[k]], Zc[[k]]}];]
ListPlot[RS, PlotRange -> {{0.2, 2.8}, {-0.2 , 0.2}}, Joined -> True]
По полученным значениям построим график Z и укрупним его около оси: Изображение.
Между соседними нулями 0.940 и 2.236 (помним о начале отсчёта с 2381374874119.000),
есть четыре подряд Грам-точки второго рода без нулей {1.09961, 1.33643, 1.57324, 1.81006, 2.04736} ! - нашли противоположную крайность к рассмотренному выше случаю 3 из 5 нулей внутри промежутка Грама второго рода.

И вообще, хорошо бы увязать разные случаи Грам-интервалов второго рода с обычной классификацией (первого рода) и определить блоки второго рода: Грам-блок длины k, содержащий ровно k корней Z(t), называется регулярным. Первый и последний грам-интервалы регулярного грам-блока должны содержать четное число корней (0 или 2 корня). Все внутренние интервалы грамм должны содержать нечетное число нулей, все они должны содержать один ноль, если интервалы на концах имеют 2 и 0 корней. Если оба крайних интервала не содержат нулей, то один из внутренних интервалов должен содержать 3 нуля и в обозначениях Gourdon'a регулярные Грам-блоки должны иметь структуру одной из следующих трех форм: 21 . . . 10, 01 . . . 12, 01 . . . 131 . . . 10 - названные им регулярными Грам-блоками типа I, II и III соответственно.
Прошло почти 40 лет, как была накоплена различная статистика и исследованы экстремальные случаи у первых 1 500 000 000 001 нулей дзета функции Римана, но похоже такой путь даёт лишь намёки для док-ва ГР.
Другое дело, впечатляет недавний аналитический результат: Дзета-функция принимает сколь угодно большие положительные и отрицательные значения на критической оси! - не следует ли из этого дальнейший рост промежутков Грама (обоих типов) без нулей?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение22.02.2020, 09:01 
Аватара пользователя


25/08/19
36
Сообщаю о результатах и вычислениях нулей производных от функций связанных с ГР.
В 1974 году Левинсон доказал, что более 7/10 нулей производной $Z'$ лежат на критической оси, а из соображений от 21.01 и 01.02 понятно, что все эти нули лежат на оси, ведь даже если ГР не верна и объявятся мнимые пары, это только увеличит количество нулей производной функции Харди с одного до трёх у каждой такой мнимой пары.
Решая уравнение $Z'$(t)=0 находим нули производной функции Харди на интервале $0< t <101$ :
Z1={2.4757, 10.2122, 17.8826, 23.1047, 27.7359, 31.6979, 35.3927, 39.1786, 42.1771, 45.6361, 48.8701, 51.5186, 54.7049, 57.7705, 60.1189, 63.0605, 66.0449, 68.3602, 70.8814, 73.7635, 76.393, 78.3622, 81.1292, 83.7852, 86.0448, 88.1471, 90.7239, 93.4354, 95.2797, 97.5114, 100.051} - 31 ноль перемежается (кроме первого) с известными начальными нулями функций Римана 14.1347, 21.0220, ... 98.8312, 101.318 (иначе была бы ошибка в расчётах :).
Дополнительно видим на скане расчёта, что действительная часть дзета-функции Римана в точках Z1 положительна, а мнимая осциллирует.
На отрицательной оси x регулярно расположены тривиальные нули первой производной дзета-функции Римана:
"For n≥2 there is exactly one zero of ζ′ in the interval(−2n,−2n+ 2) and there are no other zeros of ζ′ with σ≤0 (Levinson and Montgomery 1974)".

Рассматривая нетривиальные нули производной дзета-функции Римана $\zeta'$ находим, что все они комплексные, лежат справа от $\operatorname{Re} s =1/2$ и всё ближе подходят к этой критической оси с ростом ординат, особенно близко подходят около пар Лемера!
В этом главное отличие от классического случая функций Харди и дзеты, имеющие одинаковые нули в критической полосе.
Speiser (1934) показал, что Гипотеза Римана эквивалентна тому факту, что нетривиальные нули производной $\zeta'$ имеют действительную часть $\geqslant 1/2$. Точное равенство = 1/2 в свете недавней инфы об отсутствия кратных нулей можно убрать (иначе будет кратный ноль на $\operatorname{Re} s =1/2$ ).
Вот 7 начальных нулей производной дзета-функции Римана $\zeta'$(s) =0 $\to$ {2.463161870+i 23.298320493 , 1.286496822+i 31.708250083 , 2.307570064+i 38.489983173 , 1.382763606+i 42.290964555 , 0.964685623+i 48.847159905 , 2.101699901+i 52.432161245 , 1.895959762+i 57.134753199} .
Получена точная граница E = 2.8130... до которой могут дойти действительные части этих нулей. Таким образом нетривиальные нули $\zeta'(s)$ обитают в полосе $1< \operatorname{Re} s \leqslant E$ .
Что интересно (Yıldırım C.Y. Zeros of ζ''(s) and ζ'''(s) in σ < 1/2), производные второго и третьего порядка имеют по одной комплексной паре нулей $\zeta''(-0.3551 ± 3.5908 i)=0 , \zeta'''(-2.1101 ± 2.5842 i) =0$ и других таких пар в левой полуплоскости нет!

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение08.03.2020, 07:35 
Аватара пользователя


25/08/19
36
Для оживления этой ветки сделаю интригующий анонс.
Используя производную от функции Харди Z' и другие мат. средства системы Wolfram Cloud, сконструировал вчера действительную функцию типа пила с "зубъями впивающимися" во все нетривиальные нули (обозначил её как Zr(t), аргумент t тоже real) :
Изображение
Она (С $\infty$ марта!) может стать новым подходом к ГР. Если кто видел подобное (здесь типовое продолжение графика Zr(t) для t побольше) или может воспроизвести формулу (всего одна строка, раскрою позже) - жду реакции (можно в личку). Пока тайм-аут, нужно всё обдумать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение11.03.2020, 05:24 


26/12/18
155
vicvolf в сообщении #1422562 писал(а):
Гипотеза Римана имеет эквивалентную формулировку: $\pi(x)=Li(x)+O(x^{1/2}\log(x))$ (1) для сумматорной арифметической функции количества простых чисел, не превосходящих $x$, или сумматорных функций Чебышева, Мертенса или Лиувилля

будут ли подобные формулировки для альтернативы гипотезе Римана, если и когда нули начнут встревать в сторону от вертикали 1/2? какие формулировки будут лучшей аппроксимацией распределения простых чисел?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение11.03.2020, 11:21 


23/02/12
2477
Sycamore
a1981 в сообщении #1396273 писал(а):
из отсутствия нулей с $\sigma>c$ следует оценка $\pi(x)-Li(x)=O(x^{c+\varepsilon})$ для любого $\varepsilon>0$. При этом из наличия нуля с $\sigma=c$ вытекает, что оценка $\pi(x)-Li(x)=O(x^c)$ неверна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение11.03.2020, 18:33 


26/12/18
155
будет ли лучших, чем основанных на ГР, аппроксимаций распределения простых чисел (Дербишир и пр.)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение12.03.2020, 12:38 


23/02/12
2477
Sycamore в сообщении #1444354 писал(а):
будет ли лучших, чем основанных на ГР, аппроксимаций распределения простых чисел (Дербишир и пр.)?

Рассмотрим другую эквивалентную формулировку ГР через функцию Мертенса: $M(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ для любого $\epsilon > 0$.

В свое время сам Мертенс высказал гипотезу: $|M(n)| < n^{1/2}$.

Гипотеза Мертенса была опровергнута Одлызко: $\limsup_{n \to \infty} (M(n)/n^{1/2}) >1.06$. Это доказанная оценка снизу для функции Мертенса.

Поэтому возможна оценка сверху для этой функции: $M(n)=O(n^{1/2})$. Однако, эта гипотеза, также как и ГР, до сих пор не доказаны.

Я лично сторонник гипотезы, что для функции Мертенса справедлив закон повторного логарифма.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение12.03.2020, 12:59 


21/05/16
4046
Аделаида
vicvolf в сообщении #1444446 писал(а):
$M(n)=O(n^{1/2})$

Эта гипотеза давно опровергнута.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение12.03.2020, 14:30 


23/02/12
2477
kotenok gav в сообщении #1444453 писал(а):
vicvolf в сообщении #1444446 писал(а):
$M(n)=O(n^{1/2})$
Эта гипотеза давно опровергнута.
Вот здесь говорится, что противоположная гипотеза до сих пор не доказана https://mathworld.wolfram.com/MertensConjecture.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение14.03.2020, 07:58 
Аватара пользователя


25/08/19
36
Выяснил новые свойства функции-пилы Zr из прошлого моего поста: её верхние зубья доходят до 0.5 и точно указывают своими пиками на все корни производной функции Харди Z' !
В качестве иллюстрации этого, вычислим чему равна Zr на нулях Z' найденных 22.02.2020 (эти нули были получены с 6 значащими цифрами, поэтому последний ноль 100.051 представлен с точностью до тысячных, а у остальных точность не хуже 0.0001):
Изображение
Что подтверждает свойство верхних точек Zr(zeros Z')=1/2
Таким образом, чередование нулей Z' и Z как пиков двусторонней пилы Zr становится особенно наглядным и даже неизбежным!
А на этот раз, заинтересовал Вас жизнью скрытой функции (перекликаясь с названием известной серии работ Матиясевича :)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение21.03.2020, 08:17 
Аватара пользователя


25/08/19
36
О первом нуле Zr(t).
Внимательный читатель заметит, что если сверху идут нули производной Z' и их чередуют внизу корни Z (которые начинаются с 14.13...), то что с начальным интервалом [2.4757, 10.2122] нулей Z' ? - Даже в этом интервале есть (первый) ноль функции Zr , вычислим его: возьмем середину этого отрезка ~ 6.3 в качестве первого приближения FindRoot[Zr[t], {t, 6.3}, WorkingPrecision -> 11] получаем {t -> 6.2898359888} - таким образом чередование корней в Zr не нарушено, а точку $t_{0} = 6.2898359888...$ пока назовём несобственным нулём Z.
Поищем это число в Энциклопедии целочисленных(!) последовательностей(OEIS) и выйдем на страницу, где собрана информация о последовательности "6, 2, 8, 9, 8, 3, 5, 9, 8, 8, 8," и есть подсказка t0 = t /. FindRoot[ RiemannSiegelTheta'[t] == 0, {t, 6}, WorkingPrecision -> 11] - выполнив команду -> 6.2898359888 получаем снова наше число, а главное узнаём, что $t_{0}$ представляет корень $\theta$'(t) - отобразим график этой функции:
Изображение
- начинаем разбираться, производная от Теты симметрична и имеет единственный симметричный ноль: RiemannSiegelTheta'[-t0] = 0. + 0. I
Найдём нижнюю точку (минимум при $t=0$):
N[RiemannSiegelTheta'[0], 11] = -2.6860917096 , замечу что это совпадает с N[-Zeta'[1/2]/Zeta[1/2], 11]=-2.6860917096
Три поста, три функции Z,Z',Theta' собраны в одну формулу Zr - ещё неделю думаем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение28.03.2020, 07:48 
Аватара пользователя


25/08/19
36
Особенности поведения Zr(t) при |t|<11
Около мнимой оси Zr(t) рисует "ручки" пилы Изображение
- найдём их размер: NMinimize[{Zr[t], t > 0, t < 2}, t] -> {0.32974, {t -> 0.779854}}
и (скорее для контроля, посколько имеем симметрию Zr(t)=Zr(-t)), NMinimize[{Zr[t], t < 0, t > -1}, t] -> {0.32974, {t -> -0.779854}}
Производная от симметричной функции антисимметрична: Zr'(t)=-Zr'(-t) , ожидаемо терпит разрывы на "зубъях" и увеличивается при росте t.
Интегралы от Zr близки к величине (длина интервала интегрирования)/4, когда пределы интегрирования совпадают с корнями Z или Z',
чтобы лучше видеть это (т.е. насколько малыми они станут), вычтем под интегралом 1/4 и посчитаем три разных случая, где в качестве пределов интегрирования выберем
1) корни Z, N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, 25.01085758, 49.77383248}]] -> 0.004739 , возьмём интервал от 100-го до 111-го нуля Z :
N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, N[Im[ZetaZero[100]]], N[Im[ZetaZero[111]]]}]] -> -0.007794 и на порядок больше:
N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, N[Im[ZetaZero[1000]]], N[Im[ZetaZero[1111]]]}]] -> 0.008192 ;
2) корни Z', N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {x, 23.10465065, 48.87000415}]] -> 0.02216 , если добавим сюда интеграл по соседнему
интервалу {48.87000415, 51.518587654}, то уйдём в небольшой минус -> -0.04006 ;
3) гибридный интервал из нулей Z' и Z, N[Integrate[N[Zr[x]-1/4], {23.10465065, 49.77383248} -> -0.01785 - тоже около нуля.
И наконец, сообщаю базовую формулу arg(-Z'+iZϑ'), которую остаётся только промасштабировать в полосу 0$\leqslant$ Zr $\leqslant$1/2 и записать на удобном языке (- смотрите в следующем посте).

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение28.03.2020, 09:34 


21/05/16
4046
Аделаида
Exp0 в сообщении #1447801 писал(а):
0$\leqslant$ Zr $\leqslant$1/2

Пишите формулы по человечески, а.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение04.04.2020, 08:00 
Аватара пользователя


25/08/19
36
Решил проверить, как меняются интегралы из прошлого поста для всех зубьев Zr(t) при 10 < t < 100
- с первого запуска заработала прога и выдала осциллирующие в пределах 0.05 значения.
Изображение
Площадь под кривой не изменится, если переставить составляющие её криволинейные трапеции в порядке убывания:
Изображение
Предлагаю исследовать сходимость (можно рассмотреть чётные и нечётные частичные суммы и V.P.) этого интеграла на бесконечном интервале (и найти нижний предел интегрирования сводящий интеграл к нулю), - ждём нового Рамануджана!

 Профиль  
                  
 
 Re: Гипотеза Римана
Сообщение04.04.2020, 13:37 
Супермодератор
Аватара пользователя


09/05/12
23340
Кронштадт
 !  Exp0, предупреждение за систематически неправильное оформление формул.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 630 ]  На страницу Пред.  1 ... 38, 39, 40, 41, 42

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group