Что такое дифференциальное уравнение

[Kubrikov]

Да здесь я, здесь...

[Утундрий]

А толку, а толку...

[arseniiv]

Утундрий
Пусть почитает, зачем сразу требовать каких-то ответов. Какого качества ответа ожидать сразу-то?

[Утундрий]

arseniiv
Однако:

Kubrikov в сообщении #1443211 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1443207 писал(а):

Укажите, какие источники знаний вы проработали, чтобы научиться понимать как "работает" дифференциальное уравнение?

100500 книг, начиная от Ньютона и Эйлера, заканчивая современными Ильинами-Позняками, да Тихоновыми-Самарскими. Ясного понимания так и нет (чтобы объяснить на пальцах).

[arseniiv]

Ну я вот тайком присоветовал учебник именно по дифурам (не конкретный, конкретных не знаю, но упомянул тему с литературой на форуме), а то Ильин—Позняк это же матанализ, а Тихонов—Самарский это УМФ, да, в тот раз не посмотрел, но это же тоже не учебник по дифурам per se, это УРЧП.

-- Сб мар 07, 2020 02:19:35 --

Я кстати думал ночью о том, как понимать нелинейные уравнения не первой степени в терминах дифформ и решил, что технически можно, а геометрию я не особо вижу. И ещё должны существовать какие-то уравнения, решениями которых будут «инегральные поверхности» и многообразия высших размерностей, и видимо они будут иметь вид типа $P\,dx\wedge dy + Q\,dy\wedge dz + R\,dz\wedge dx = 0$, где $dx\wedge dy$ не следует путать с $dx\,dy$, потому что второе будет функцией, перемножающей результаты применения $dx$ и $dy$ к вектору, а первое функция бивектора. Неплохой оффтоп может выйти; почему я о подобных уравнениях нигде не успел услышать?

[Munin]

arseniiv в сообщении #1443525 писал(а):

в терминах дифформ

Там скорее некий аналог "поля направлений" должен возникать. Я слышал термин "струя" ("джет"), но не уверен, что правильно понимаю, что он тут к месту.

[demolishka]

arseniiv в сообщении #1443525 писал(а):

И ещё должны существовать какие-то уравнения, решениями которых будут «инегральные поверхности» и многообразия высших размерностей

Это называется $k$-мерное распределение на многообразии (т. е. когда в каждой точке (=в касательном пространстве к ней) задано $k$-мерное подпространство). Необходимые и достаточные условия локальной разрешимости (т. е. существования $k$-мерного подмногообразия, имеющего данные $k$-мерные подпространства в качестве касательных) дает теорема Фробениуса.

[arseniiv]

demolishka
О, спасибо, интересно!

[Munin]

demolishka
А как называется аналог этого всего, если дифференциальное уравнение не первого, а более высокого порядка? Упомянутые вами $k$-мерные подпространства, как я понял, линейные.

[demolishka]

Munin в сообщении #1443562 писал(а):

более высокого порядка

Если говорить про эволюционные задачи (в частности, механики), то, например, уравнение второго порядка задается векторным полем на касательном расслоении.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1443384 писал(а):

Итак, что я думаю про дифференциальные уравнения? Вроде их из дифференциалов делают?

А кардинальные числа из кардиналов


А ликёр "Адвокат" из адвокатов.
Боже, какой ужас! Он яичный!

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Теорема Фробениуса, кстати, является прямым следствием вот этого незатейливого факта http://dxdy.ru/post759012.html#p759012
как и теорема о существовании локальных евклидовых координат на многообразии с симметричной связностью и тензором кривизны равным нулю

[dmd]

Если на пальцах, то дифур это соотношение между некоторыми коэффициентами ряда Тейлора искомой функции.

Если допустим имеется уравнение $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{1}{w(x)^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$, то это буквально означает, что в ряде Тейлора функции $f=f(x,t)$ имеются квадратные термы с соответствующими коэффициентами, которые есть соответствующие производные функции:

$f=f(x,t)=...+ax^2+...+bt^2+...$,

где $a=a(x,t)=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ и $b=b(x,t)=\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}$.

Если в дифуре присутствует $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$, то это буквально означает, что в ряде Тейлора функции $f=f(x,y)$ есть квадратный терм с таким коэффициентом $k=k(x,y)=\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$:

$f=f(x,y)=...+kxy+...$.


Первый дифур описывает одномерный колебательный процесс. Некоторые физические процессы вокруг нас сами собой диктуют взаимосвязи между их некоторыми характеристиками. В данном случае аддитивное сочетание соответствующих ускорений самоочевидно из естественных наблюдений, но функциональная зависимость не самоочевидна из наблюдений, и её охота восстановить. Примерно так появились первые дифференциальные уравнения.

[Munin]

dmd в сообщении #1443585 писал(а):

Первый дифур описывает одномерный колебательный процесс.

Одномерный волновой процесс.

[pogulyat_vyshel]

dmd в сообщении #1443585 писал(а):

Если на пальцах, то дифур это соотношение между некоторыми коэффициентами ряда Тейлора искомой функции.

а что, все дифференциальные уравнения имеют аналитические решения и только аналитические?