Что такое дифференциальное уравнение

[Padawan]

Munin в сообщении #1443562 писал(а):

demolishka
А как называется аналог этого всего, если дифференциальное уравнение не первого, а более высокого порядка? Упомянутые вами $k$-мерные подпространства, как я понял, линейные.

Более общая конструкция такая: для любой точки $x\in\mathbb R^n$ указано некоторое множество $E_x$ $k$-мерных плоскостей, проходящих через точку $x$. Надо найти $k$-мерную поверхность, в каждой точке которой касательная плоскость $T_x\in E_x$. В книге Рашевского Геометрическая теория УЧП это рассматривается. Он каким-то образом ещё это увязывает с финслеровой геометрией. Я пытался читать, но мало что понял. А в случае одного диффура второго порядка от функции двух переменных это рассмотрено, например, в одном из томов Смирнова Курс высшей математики. Там понятно и хорошо написано. Глава "Общая теория УЧП" или что-то похожее.

-- Сб мар 07, 2020 17:57:00 --

P.S. Насчет Рашевского ошибся. Он рассматривает только пфаффовы системы (они же распределения). Но любая система дифференциальных уравнений сводится к пфаффовой системе.

[Munin]

Не, мне хотя бы функцию одной переменной, но дифур $n$-го порядка.

[Padawan]

Рассматриваем пространство четырех независимых переменных $(t,x,x',x'')$ и в нём трёхмерное многообразие $E: F(t,x,x',x'')=0$. Надо найти одномерное подмногообразие $S\subset E$, касательные векторы к которому в любой точке удовлетворяют системе $dx-x'dt=0,dx'-x''dt=0$. То же самое с любым количеством переменных, неизвестных функций, и уравнений любого порядка. Вот такое дешевое "сведение". Не думаю, что таким дешевым способом можно что-то серьезное получить.

[Munin]

Padawan в сообщении #1443630 писал(а):

Рассматриваем пространство четырех независимых переменных $(t,x,x',x'')$

Ну-у-у, это уход от ответа... Ладно, спасибо.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1443562 писал(а):

А как называется аналог этого всего, если дифференциальное уравнение не первого, а более высокого порядка? Упомянутые вами $k$-мерные подпространства, как я понял, линейные.

Это же «поля линейных подпространств», так что глобально они могут быть как угодно кривыми. Я кстати ночью сообразил пример неинтегрируемого распределения, очень мило. Хотя потом немного запутался.

-- Вс мар 08, 2020 00:14:36 --

Padawan
О, спасибо за пфаффовы системы тоже!

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1443670 писал(а):

Я кстати ночью сообразил пример неинтегрируемого распределения, очень мило. Хотя потом немного запутался.

неинтегрируемость распределения это случай общего положения, что тут придумывать

[arseniiv]

Ну одно дело знать, а другое дело иметь пример, окидываемый взглядом, чтобы иметь надежду знать как оно вообще может быть устроено.

-- Вс мар 08, 2020 00:24:31 --

Вот мы например знаем что непрерывных функций $\mathbb R\to\mathbb R$ лишь континуум, и что разрывных куда больше, но это не даёт сразу же представить, насколько страшна может быть произвольная функция. Нужно иметь как минимум несколько примеров чтобы уяснить масштаб явления.

[pogulyat_vyshel]

arseniiv в сообщении #1443676 писал(а):

Ну одно дело знать, а другое дело иметь пример, окидываемый взглядом, чтобы иметь надежду знать как оно вообще может быть устроено.

наиболее наглядное представление о том как оно устроено дают неголономные системы

[Munin]

arseniiv в сообщении #1443670 писал(а):

Это же «поля линейных подпространств»

Я ждал "полей квадратичных подпространств" и более высоких степеней. (В касательных пространствах, если угодно.)

pogulyat_vyshel в сообщении #1443677 писал(а):

наиболее наглядное представление о том как оно устроено дают неголономные системы

А для не знающих механику, для математиков?

[arseniiv]

Munin в сообщении #1443693 писал(а):

Я ждал "полей квадратичных подпространств" и более высоких степеней.

Кстати а что они должны были бы позволить? Вообще да, почему бы не, но не вижу что нового они должны внести кроме большего количества неинтегрируемых вещей.

[Munin]

Интуитивно кажется, что меньшего количества. У любого дифура можно понизить порядок, но не у любого повысить.

[Утундрий]

Разбудите, когда начнётся о классах функций...

[arseniiv]

Munin в сообщении #1443701 писал(а):

Интуитивно кажется, что меньшего количества. У любого дифура можно понизить порядок, но не у любого повысить.

Я рассуждал так: вот есть у нас распределение, теперь мы к нему приделываем кусок большей степени. Если оно не было интегрируемым, оно не станет. Если было, может перестать. Как простейший пример представим распределение, интегральными поверхностями которого будут концентрические гиперсферы какого-то евклидова пространства. Теперь мы можем лишь единственным образом сделать из него «квадратичное распределение», чтобы оставить интегрируемость, и бесчисленным числом способов сделать из него другие, портящие интегрируемость.

[VanD]

В работах Виноградова и его учеников (они же Джет Неструев) обсуждавшиеся выше геометрические идеи мягко говоря сильно развиты. А теория внешних дифференциальных уравнений ещё Эли Картаном вроде заложена была.

Но, боюсь, что всё это не для базового понимания. Хотя если ТС мучается именно от отсутствия возможности понять что такое диффур с геометрической точки зрения максимально глубоко -- эта дорожка в самый раз.

[arseniiv]

Да, это не очень предполагалось для ТС, но если он разберётся с обычным пониманием, то может быть.