Стыдно признаться - до сих пор не понимаю, как "работает" дифференциальное уравнение.
Берем простейшее

. Задание: найти

при известном

и, в некотором смысле, известном

(в численных методах это фиксированный или плавающий шаг, в обычной математике - бесконечно малое).
Получается, данное ДУ сводится к обычному делению

на малом интервале, где

- это

;

- это

;

- это

, а решение ДУ сводится к поиску делимого

путем перемножения

на

(что есть интеграл на данном участке).
Более сложные ДУ сводятся к алгебраическим уравнениям на малом участке.
Проблема невозможности точного решения многих ДУ сводится к тому, что и алгебраические уравнения далеко не все можно решить точно.
Поправьте меня ))