Что такое дифференциальное уравнение

[Kubrikov]

Стыдно признаться - до сих пор не понимаю, как "работает" дифференциальное уравнение.

Берем простейшее $dy(x)/dx=z(x)$. Задание: найти $y(x)$ при известном $z(x)$ и, в некотором смысле, известном $dx$ (в численных методах это фиксированный или плавающий шаг, в обычной математике - бесконечно малое).

Получается, данное ДУ сводится к обычному делению $A/B=C$ на малом интервале, где $A$ - это $dy(x)$ ; $B$ - это $dx$ ; $C$ - это $z(x)$, а решение ДУ сводится к поиску делимого $A$ путем перемножения $C$ на $B$ (что есть интеграл на данном участке).

Более сложные ДУ сводятся к алгебраическим уравнениям на малом участке.

Проблема невозможности точного решения многих ДУ сводится к тому, что и алгебраические уравнения далеко не все можно решить точно.

Поправьте меня ))

[Утундрий]

А к чему по-вашему "сводится" $y'=0$?

[Brukvalub]

Kubrikov в сообщении #1443204 писал(а):

Стыдно признаться - до сих пор не понимаю, как "работает" дифференциальное уравнение.

Укажите, какие источники знаний вы проработали, чтобы научиться понимать как "работает" дифференциальное уравнение?

[Kubrikov]

Утундрий в сообщении #1443205 писал(а):

А к чему по-вашему "сводится" $y'=0$?

$0 \cdot dx=dy$ ; $dy=0$ , то бишь константе (семейства пока не рассматриваем, уловить бы суть).

Brukvalub в сообщении #1443207 писал(а):

Укажите, какие источники знаний вы проработали, чтобы научиться понимать как "работает" дифференциальное уравнение?

100500 книг, начиная от Ньютона и Эйлера, заканчивая современными Ильинами-Позняками, да Тихоновыми-Самарскими. Ясного понимания так и нет (чтобы объяснить на пальцах).

[Утундрий]

Kubrikov в сообщении #1443211 писал(а):

0*dx=dy ; dy=0 , то бишь константе (семейства пока не рассматриваем, уловить бы суть).

Я имел в виду, относится ли оно к "обычному делению", к "поиску делимого" или к "перемножению" или, может быть, к чему-то ещё?

[Someone]

Kubrikov в сообщении #1443204 писал(а):

известном $dx$ (в численных методах это фиксированный или плавающий шаг, в обычной математике - бесконечно малое).

$dx$ — это не какое-то мифическое "бесконечно малое", а дифференциал.

Kubrikov в сообщении #1443204 писал(а):

данное ДУ сводится к обычному делению

Потому и не понимаете, что воспринимаете производную как "деление".

[Kubrikov]

Возьмем для простоты численные методы, где $\Delta x$ - просто малое, а производная - это деление.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы/обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы) уже в двух сообщениях.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[btoom]

Если вы к такому большому числу книг обратились, почему же вас не устраивает типичное определение?

Что вы имеете ввиду под "работой"? Есть некоторое соотношение на неизвестную функцию, ее производную (производные), независимые переменные.

Не надо сводить к алгебраическим, да и не получится вообще говоря, разделение переменных это круто только до тех пор, когда уравнение простое или редуцируется.

[Brukvalub]

Kubrikov в сообщении #1443211 писал(а):

100500 книг, начиная от Ньютона и Эйлера, заканчивая современными Ильинами-Позняками, да Тихоновыми-Самарскими. Ясного понимания так и нет (чтобы объяснить на пальцах).

Может, так вышло потому, что не все можно объяснить на пальцах?
Кроме того, если вы тщательно и кропотливо проработали несметное количество учебников по дифурам, мастерски написанных маститыми учеными и продвинутыми педагогами, а понимания так и не пришло, то, может, это все вам никогда познать и не удастся, не ваше оно?
Неужели именно на этом форуме есть такие гении от педагогики, которые парой фраз расскажут о дифурах лучше специалистов, годами трудившихся над написанием своих учебников?
Сомнительно это.

[Pphantom]

Brukvalub в сообщении #1443346 писал(а):

Кроме того, если вы тщательно и кропотливо проработали несметное количество учебников по дифурам, мастерски написанных маститыми учеными и продвинутыми педагогами, а понимания так и не пришло, то, может, это все вам никогда познать и не удастся, не ваше оно?

Судя по форме исходного вопроса, читать надо было не учебники по дифурам, а учебники по основам матанализа. Разбираться с дифурами без понимания того, что такое производная, бессмысленно.

[Someone]

Kubrikov в сообщении #1443218 писал(а):

Возьмем для простоты численные методы, где $\Delta x$ - просто малое, а производная - это деление.

В численных методах нет дифференциальных уравнений. Разностные уравнения, которыми там заменяют дифференциальные уравнения — это совсем другое понятие. И производных там тоже нет. Вам верно говорят, что сначала нужно разобраться с основами математического анализа и, в частности, понять, что производная — это не деление и не то, чем её заменяют в численных методах.

[wrest]

Kubrikov в сообщении #1443204 писал(а):

Стыдно признаться - до сих пор не понимаю, как "работает" дифференциальное уравнение.

Дана мгновенная скорость, как функция от времени, $v=v(t)$. Надо найти пройденный путь как функцию от времени же, т.е. $s=s(t)$. По определению мгновенной скорости, $v(t)=\lim \limits_{\Delta t \to 0}\dfrac{\Delta s(t,\Delta t)}{\Delta t}$ или, если переходить к обозначениям производной и дифференциалов, то это записывется так: $s'(t)=\dfrac{ds(t)}{dt}=v(t)$
Вот как оно работает, если "на пальцах".

[Утундрий]

Ну-с, от ТС ни слуху, ни духу, так что можно заходить на второй круг дележа ценными мыслями.

Итак, что я думаю про дифференциальные уравнения? Вроде их из дифференциалов делают?