Что подразумевалось о втором законе Кеплера в книге?

[Утундрий]

(frostysh)

я свой характер закаляю
преодолением преград
упoрнo циркулем рисуя
квадрат

[wrest]

frostysh в сообщении #1442329 писал(а):

Я в то смысле что, а как можно показать справедливость закона равных площадей без использования бесконечно малых и полного арсенала дифференциального анализа как сделал допустим Ньютон?

Смотря что называть "полным арсеналом". Что-то вроде предела понадобится.

Нарисуйте центр силы $O$ и три последовательных положения точки $A,B,C$ таких что времена между точками $t_{AB}=t_{BC}$

Каково условие того, что площади $S_{\triangle{AOB}}=S_{\triangle{BOC}}$?

[svv]

frostysh в сообщении #1442329 писал(а):

Я в то смысле что, а как можно показать справедливость закона равных площадей без использования бесконечно малых и полного арсенала дифференциального анализа как сделал допустим Ньютон?

Вы наверняка знаете, что одна из задач, из которых вырос математический анализ — это нахождение площадей фигур, ограниченных кривыми. Здесь у Вас именно такая фигура — и Вы пытаетесь обойтись без анализа.

Тогда Вам встречный вопрос: а что Вы понимаете под площадью криволинейной фигуры? Площадь треугольника — понятно, многоугольника — понятно, а что такое площадь фигуры, ограниченной двумя отрезками и дугой эллипса? Как вообще определяется площадь для таких фигур?

-- Вс мар 01, 2020 12:18:09 --

wrest в сообщении #1442351 писал(а):

Что-то вроде предела понадобится.

Вот. И мне очень интересно, как frostysh даст определение площади таких фигур, не опираясь явно или неявно на понятие предела.

[pogulyat_vyshel]

какой вообще смысл обсуждать графоманию? человек настрочил уже больше чем про эту задачу пишут в самых обстоятельных учебниках, очевидно же, что болезненные проявления

[wrest]

(Оффтоп)

svv в сообщении #1442355 писал(а):

Вы наверняка знаете, что одна из задач, из которых вырос математический анализ — это нахождение площадей фигур, ограниченных кривыми. Здесь у Вас именно такая фигура — и Вы пытаетесь обойтись без анализа.

Ну тут мне кажется, все-таки, "анализ" как-бы это сказать... слишком громко. Ведь надо показать только, что секторная скорость постоянна. А скорость это предел отношения приращения функции [в нашем случае - площади сектора] к приращению времени. Поскольку задача физическая, где всё должно быть гладко, то хватает, вроде бы, и наивных рассуждений о пределе, вполне школьных. В совокупности с парой фактов, а именно, что центральность силы означает, что ускорение направлено в одну точку (центр) и что центральные силы консервативны, ну или хотя бы -- что конкретно сила тяжести консервативна (а это -- школьное знание), то есть удельная энергия есть константа, кажется, что вывод закона площадей посилен для школьника без даже знания формы траектории, и что можно показать, что секторная скорость есть константа, что расстояние до центра там сокращается и в формулу не входит. Во всяком случае, для обратно-квадратичной силы (тяжести) уж наверное это можно сделать.
Вот в эту сторону и хочется подтолкнуть ТС-а...

[pogulyat_vyshel]

теорема площадей это геометрическая формулировка сохранения кинетического момента

[frostysh]

wrest

Я конечно долго с этим разбирался, но так и не разобрался. Первый случай это когда $AB$ и $BC$ параллельны и лежат на одной прямой первый за вторым, то есть объект движется с постоянной скорость по прямой линии.

Создадим окружность с центром в $F$, диаметром $OB$, высота $OD$ для двух треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ будет общая, стороны к которым проведена эта высота равны так-как промежутки времени равны и скорость постоянная, соответственно площади этих треугольников равны тоже.

Этот случай похуже... Площади соответствующих треугольников равны, так как равны высоты к равным сторонам, а именно высоты, они же хорды $OD$ и $OM$, но почему они равны и каким образом это связано с движением, не особо понятно. Также симметричный этому, когда треугольник $\triangle ABC$ в противоположную сторону направлен, будет тоже самое и также непонятное.

Здесь просто, хорды-высоты $OD$ и $OM$ равны, потому-что угловая скорость постоянная, так-как диаметр $OB$ делит угол $\angle CBA$ пополам, также симметричная этой ситуация понятная, но не особо.

Углы $\angle OBA$ и $\angle OBC$ равны как углы в тождественных треугольниках, но как связать эту тождественность с равностью хорд-высот $OM$ и $OD$? Подумаю.

svv

Ну, похоже автор книги в одном конкретном моменте обошелся без "теоремы о двух милиционерах и бандите", заменив это равнобедренным треугольником, через это и началось разбирательство мое во втором законе Кеплера и экванте Птолемея по сути.
На счет площадей фигур этих, даже не знаю что вам сказать, кроме интеграла ниче что-то на ум не приходит, знаю что есть приближенная формула для длины эллипса, мне говорили что есть точна в эллиптический интегралах например, но опять другого способа кроме как манипуляций с бесконечно малыми величинами и пределами на ум не приходит.

[svv]

frostysh в сообщении #1442498 писал(а):

Ну, похоже автор книги в одном конкретном моменте обошелся без "теоремы о двух милиционерах и бандите", заменив это равнобедренным треугольником, через это и началось разбирательство мое во втором законе Кеплера и экванте Птолемея по сути.

Да. Это вызвало у Вас сомнения ровно потому, что Вы не знаете, что называется площадью таких фигур. Т.е. непонятно даже не "как вычисляется", а "какое даётся определение", что это вообще такое — площадь фигуры, ограниченной кривой.

frostysh в сообщении #1442498 писал(а):

На счет площадей фигур этих, даже не знаю что вам сказать, кроме интеграла ниче что-то на ум не приходит

Да. Тогда что вообще Вы считаете?

frostysh, шоб Вы меня правильно понимали. Я Вас нисколько не упрекаю в чём бы то ни было. Я пытаюсь избавить Вас от тяжёлой и бессмысленной работы.

[wrest]

frostysh в сообщении #1442498 писал(а):

Первый случай это когда $AB$ и $BC$ параллельны и лежат на одной прямой первый за вторым, то есть объект движется с постоянной скорость по прямой линии.

Ok, раз тело движется равномерно-прямолинейно значит равнодействующая сила равна нулю.
Два симметричных случая пока отбросим. Они очвидны: в первом у вас точка $B$ это апоцентр (либо вершина параболы\гиперболы\эллипса либо точка на окружности), а второй (где точка $B$ ближе к центру силы) просто невозможен если сила направлена к центру.

Поскольку у вас непонятно к какому риснуку какой текст относится, то давайте ещё раз.

Имеем центр силы $O$, и три последовательных точки нахождения тела $A,B,C$ отмеченные через равные промежутки времени $\Delta t = t_{AB}=t_B-t_A=t_{BC}=t_C-t_B$. Допустим, $OA>OB>OC$ (т.е. тело приближается к центру).
Нас интересуют площади треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ - это площади заметаемые радиус-вектором проведенным из точки $O$ за промежутки времени $t_{AB}=t_{BC}$
Чтобы площади двух треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ с общей стороной $OB$ были равны, нужно чтобы их высоты, проведенные к этой стороне, были равны -- это вы верно написали в принципе, но из вашего текста невозможно понять зачем вы понарисовали окружности, хорды и тому подобное.

Теперь, введем величину $\Delta t$ -- как "единицу времени" и приравняем, соответственно, единице.
Поскольку длины отрезков $AB$ и $BC$ являются перемещениями (метрами), а перемещения эти осуществляются за единицу времени, то длины этих отрезков равны модулям средних скоростей на участках $AB$ и $BC$, а направления отрезков $AB$ и $BC$ совпадают с направлениями средних скоростей тела (на этих участках).

Теперь, внимание, вопрос. Куда направлено приращение скорости $\Delta \vec v$, такое, что $\vec {AB} + \Delta \vec v= \vec {BC}$ или что тоже самое, $\Delta \vec v= \vec {BC} - \vec {AB}$?

Нарисуйте.

Но только то, что запроршено, не надо никаких окружностей, непонятных хорд и т.п. Только точки $O,A,B,C$ высоты треугольников $\triangle AOB$ и $\triangle BOC$ к общей стороне $OB$, основания высот и что ещё дальше упоминается по тексту.

[frostysh]

svv

Сначала я питался в явном виде выразить изменения косинуса угла который отсекает отрезок от пустого фокуса эллиптической орбиты до планеты (аналог экванта Птолемея, хотя у него там вокруг эксцентра по идее все вращалось), в зависимости от аналогичного косинуса угла в фокусе где Солнце в явном виде. Не получилось.
Потом я понял что в абзаце книге говориться таки о бесконечно малом треугольнике который основание стоит на эллипсе который стал на это время окружностью, а не то что это треугольник на секториальном круге. После этого всего, мне удалось понять что малейшее изменение формы орбиты с круговой к эллиптической (забываем о расположении), приводит к достаточно сильной неравномерности движение, а причина в том что, я это понял с подсказок людей, что в формулу для потенциальной энергии, точнее ее максимального и минимального значения входит фокусное расстояние $2c$, а через закон сохранение — это все связанно с кинетической энергией, какой кстати интересный этот закон сохранения энергии, просто к слову. Фокусное расстояние очень сильно зависит от малейших изменений в форме эллипса, например если зафиксировать главную полуось, и чуточку сжать меньшую полуось, всего на пару процентов, мы сразу же получим огромное расстояние между фокусами по причине что функция зависимости оного в данном случая, от малой полуоси, моментально злетает вверх при малейшем отклонении от окружности (черная линия на рисунке), в которой обе полуоси равны.



wrest

Не пойму почему это точка $B$ не можем быть ближе чего-то там из-за направления силы? Что за апоцентр и к чему та гиперболы с параболами? Не обязательно же проводить высоты в обще стороне, можно к двум равным сторонам с точки $O$, равность этих высот это тоже будет условие равности площадей треугольников!



Нам остается только найти условие при котором эти высоты равны, я и пытался сделать на рисунках выше с помощью окружностей, ромбиков и хорд, но у меня пока не получилось.
Теперь проведем высоты к общей стороне, как говорили Вы.



И да, действительно по определению средней скорости, при единичных промежутках времени

$$v_{\texttt{ср}} = \dfrac{v_{B}t_{B} - v_{A}t_{A}}{\vartriangle \negthickspace t_{AB}} = AB = BC,$$

теперь куда направлено смещение скорости $\stackrel{\longrightarrow}{\vartriangle \negthickspace v}$ если выходить с рисунка? Только в одной точке, ну если не считать случай когда оно нулевое, в точке — $C$ оно параллельное радиус-вектору $\vec{r}$. Симметрический случай будет при отдалении объекта. При этом площади треугольников $S_{\triangle AOB}$ и $S_{\triangle BOC}$ не равны, как и не равны площади соответствующих паралелограммов $S_{OC'CB}$ и $S_{OBAA'}$, вектор $\stackrel{\longrightarrow}{BC_{1}}$ есть параллельный перенос вектора $\stackrel{\longrightarrow}{AB}$. Если искать нечто, что соответствует условиям параллельности радиус-вектора и вектора смещения скорости, то нам нужно для начала задать эти условия из имеющихся, а именно вспоминая из векторного анализа что векторное произвидения двух векторов, если они параллельны, будет нулевым, отсюда и правила отнимания векторов по треугольнику может выйти

$$\left(\stackrel{\longrightarrow}{BC} - \stackrel{\longrightarrow}{BC_{1}}\right) \times \vec{r} = 0,$$

с этого наверное как-то траекторию можно получить, но я особо не понимаю как. И есть определение центрально сила что оно постоянно направлено к центру, то есть некой точке там? Из-за этого (я вспоминаю университет немного), не учитывается вся земля что сверху при задачи "падения Алисы к центру Земли"? Имею ввиду там что-то мне научный когда-то говорил за теорему Гаусса-Остроградского, как ее принято называть в СНГ.

П. С. Все короче надо повторять, и вектора и матан, а я чете "зависаю" как мой Семпрон 140 на новых программах для рисования геометрии, ток я на школьных задачах, ну ладно...

[Утундрий]

frostysh
Вы хоть как-то фильтруете свою умственную жвачку перед тем как её тут вываливать? Где: вопрос, попытка решения, результат/новый вопрос?!

[wrest]

frostysh в сообщении #1442684 писал(а):

Не обязательно же проводить высоты в обще стороне, можно к двум равным сторонам с точки $O$, равность этих высот это тоже будет условие равности площадей треугольников!

Обязательно, потому что нам известно, что площади треугольников равны, есть совпадающие стороны, а значит высоты проведенные к ней равны.

-- 03.03.2020, 08:43 --

frostysh в сообщении #1442684 писал(а):

И да, действительно по определению средней скорости, при единичных промежутках времени

$$v_{\texttt{ср}} = \dfrac{v_{B}t_{B} - v_{A}t_{A}}{\vartriangle \negthickspace t_{AB}} = AB = BC,$$

Чепуха. Скорости на двух участках не равны, подкиньте камень и убедитесь в этом: камень будет двигаться с ускорением (называемым "ускорение свободного падения").

-- 03.03.2020, 08:45 --

frostysh в сообщении #1442684 писал(а):

При этом площади треугольников $S_{\triangle AOB}$ и $S_{\triangle BOC}$ не равны

Ну что ж, на нет и суда нет... Это равенство вам было задано как условие, вообще-то. ....
Я вам конкретно написал как и что нарисовать, но вы не захотели. Ну что ж... Пилите... они золотые

-- 03.03.2020, 08:48 --

frostysh в сообщении #1442684 писал(а):

И есть определение центрально сила что оно постоянно направлено к центру, то есть некой точке там?

Википедия есть у вас? Почитайте хотя бы там.

P.S. Вообще все что вам надо знать о движении под действием сил для этой задачи, и особенно свободные падения, описано у Ньютона в "Началах..". И там это даётся всё не только почти без анализа, но и почти без алгебры. Только циркуль и линейка, хорды и дуги, как вы любите :) Не то чтоб я советовал эту книжку как учебник, но как познавательное чтение -- вполне.

[miflin]

(Оффтоп)

Беспредельная математика в запредельном смысле этого слова.

[Pphantom]

Кажется, последнему, кто пытался давать содержательные ответы, тоже надоело, так что пора закрывать лавочку.