Что подразумевалось о втором законе Кеплера в книге?

[miflin]

frostysh
Исчерпывающий ответ Вам сразу же был дан ещё здесь.
А Вы вместо того, чтобы задуматься, продолжаете заниматься ерундой.

[Утундрий]

(Оффтоп)

frostysh
Если совсем коротко, то лучше сказать "я обос...ся", нежели "ваш покорный слуга наложил в штаны". Первое и проще и честнее. И доля ответственности в нём выше.

frostysh в сообщении #1441683 писал(а):

доцильно (не знаю слова на русском)

Целесообразно.

[wrest]

frostysh в сообщении #1441683 писал(а):

То есть я с самого начала верно догадывался, и понимал что профессор использовал нестрогие рассуждения чтобы быть последовательным например, а не брать "из воздуха" ни весь матан, ни площадь нужную там. Ну как то так по идеи.

Эти рассуждения есть у Ньютона, в "Началах". Посмотрите, при случае.

frostysh в сообщении #1441683 писал(а):

Если Вы подразумевали что у нас на круге будет равномерное движение если всюду эти маленькие площади будут равны, то да, но во первых для нужно еще сказать что повсюду, во вторых мы же перейдем опять к эллипсу,

Дело тут не в эллипсе или окружности. С параболой и гиперболой та же история.

Вообще, этот закон (закон площадей) имеет место для любой центральной силы, а не только силы тяжести (т.е. не только центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до центра, а вообще для любой центральной силы). И наоборот, если закон площадей выполняется, то сила - центральная. Об этом тоже есть [ещё] у Ньютона в "Началах".

[frostysh]

miflin

Ну если с математическим анализом, то ведь мы не делаем скачек с эллипса в окружность, а потом обратно, просто потому, чтобы не брать с потолка формулу для пощади, а более-менее строго получаем?

wrest

За Ньютона слыхал, мне говорили про закон площадей когда-то, хотя я не особо понял... Но какие рассуждения? Мои рассуждения что можно не использовать математический анализ (хотя зная его), получить формулу площадки нестрогими рассуждениями для окружности, тем не менее оно будет верно для эллипса тоже.
Закон площадей ведь не дает формулу этих площадок а только говорит что мы можем разбить большую площадь отсекаемую радиус-вектором на некие равные площадки за равные промежутки времени и потом просуммировать, то есть то что для эллипса и треугольника окружности в нашем случае, площадки совпали, это просто хорошо подобранный пример автором книги?

(Утундрий)

Утундрий в сообщении #1441711 писал(а):

frostysh
Если совсем коротко, то лучше сказать "я обос...ся", нежели "ваш покорный слуга наложил в штаны". Первое и проще и честнее. И доля ответственности в нём выше.

frostysh в сообщении #1441683 писал(а):

доцильно (не знаю слова на русском)

Целесообразно.

Слово вспомнил, спасибо.
На счет проще и честнее, и доли ответственности, вот тут мне интересно что люди, как мне кажется, экстраполируют свои представления, часто на огромное количество других людей, забывая что морально-смысловое отображение некого слова, или выражение в человеческом сознании может быть довольно резко отличаться, не знаю, от какого-то среднестатистического случая. Особенно если какой-то человек не особо контактировал с обществом или принимал его традиции, общие стремления и тому подобное, соответственно в него могут быть иные представление что "честней", что "лучше", что "проще", и так далее, например сказать в каком-то конкретном случае. Выражение, к примеру "ваш покорный слуга" лично у меня ассоциируется вот когда я его печатал тут, с интеллектом, со скромностью, некой простотой, честностью и даже благородностью. Но это наверное результат слишком увлечения мультиками, фильмами, и тому подобным... Тем не менее уже деривация на лицо так сказать.

[wrest]

frostysh
Я не понимаю что вы пишете, поэтому как-то конкретно комментировать не могу.

Так что ещё раз обращаю ваше внимание на то, что дело не в форме траектории (окружность, эллипс, прямая), а в том, что ускорение (производная вектора скорости) всегда направлено в одну и ту же точку и не зависит от времени.

Так же, ещё раз отсылаю ко второму комментарию:

Утундрий в сообщении #1441360 писал(а):

Это не важно в силу бесконечно-малости обсуждаемого.

Аналогия. Рассмотрим не секторную скорость, а просто скорость (обычную).
Если вы каким-то образом установили, что скорость у тела постоянная, то для подсчета пройденного пути неважно по какой траектории движется тело: за равные промежутки времени оно пройдет равные пути. Скорость (в какой-то точке в какой-то момент времени) это предел отношения перемещения к периоду времени при стремлении периода времени к нулю. Вот и весь матан.

[miflin]

frostysh в сообщении #1441727 писал(а):

Ну если с математическим анализом, то ведь мы не делаем скачек с эллипса в окружность, а потом обратно, просто потому, чтобы не брать с потолка формулу для пощади, а более-менее строго получаем?

Не совсем уловил мысль...
Выражение для элемента площади в полярных координатах не зависит от того, какую кривую мы рассматриваем.

$$dS=\frac{r^2d\varphi}{2}$$

Оно одно и то же для любой кривой, и при выводе этой формулы идиотские прыжки с эллипса на окружность и обратно
столь же уместны, как седло на корове.
А вот когда с помощью интегрирования мы находим конечную площадь, тогда рассматриваемая кривая имеет значение.

[frostysh]

wrest

Ну это Вы говорили что закон равных площадей для центральной силы, и я об этом слышал не раз, и обязательно разберусь, и возможно даже если что-то не понятно будет создам отдельную тему. Но вопрос был на первой страницы в том, что можно ли получить тот самый результат без подобных рассуждений математического анализа, а заменяя эллипс кругом а.
Попробую объяснить, я там рисовал равнобедренный треугольник, вот такой "фокус" не получиться с гиперболой или параболой. Там не нарисуешь такой треугольник, придется использовать вот как в Ньютона "толчки", или два круга рисовать и секторную площадь, правильно ведь?

miflin

Да я там неправильно понял и напечатал, хотя прекрасно знал что главное чтобы функция дифференцируемая была и так далее, сам не знаю почему. Но вот нельзя же параболу превратить в окружность просто уменьшив расстояние между фокусами правда же? Это не замкнутая кривая, соответственно заменить рассуждения о секториальной площади рассуждениями о треугольнике на круге как в случае эллипса не выйдет.
С чего началось, как я уже и печатал в первом сообщении, перед этими рисунками и формулами, что человек сказал мне: "Вайнберг обманул там, и использовал там матанализ, что то не треугольник а сектор на самом деле..."; ну и так далее, а я ответил, особо в этом не разбираясь тогда, что: "Профессор никого не обманывал, там "what you see what you get", и там действительно нету в явном виде теоремы о "милиционерах и бандите", что там действительно эллипс превращается в окружность и наоборот, и это все чтобы не делать раздел по математическому анализу ибо автор книги последователен довольно..."; ну и все такое. И вот уже наверное неделю с этим разбираюсь... Но мне не особо в тягость, мне теперь лучше стало пониматься в движении планет, вопрос то на самом деле (особенно для людей знающих физику лучше меня), не сложен, да и с Латехом лучше стал работать, плюс рисунки теперь лучше получаются (спасибо Арсениив с этого форума что подсказал как оффлайн просто латех-символи приклеивать на рисунки). Вот ко всему сказанному, прилагаю на всякий кроме перепечатанного, еще и фотку абзаца из-за которого начался спор.

[svv]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #1441711 писал(а):

Первое и проще и честнее.

Но второе возвышеннее!

[Someone]

frostysh в сообщении #1441744 писал(а):

можно ли получить тот самый результат без подобных рассуждений математического анализа, а заменяя эллипс кругом а.

Замена эллипса окружностью незаконна, пока Вы не покажете противного. У Вас никак не обосновано, что такая замена возможна. Более того, мне совершенно непонятно, как у Вас связан конкретный эллипс с конкретной окружностью, как от равномерного движения по окружности перейти к неравномерному движению по эллипсу с сохранением секториальной скорости, и почему при этом получится именно то движение по эллипсу, которое соответствует закону всемирного тяготения.

[miflin]

Прошу прощения у математиков за некоторую вульгарность изложения.

frostysh в сообщении #1441744 писал(а):

Но вот нельзя же параболу превратить в окружность

Нельзя. Ваша правда. Никто и не превращает, хотя окружность и используется при выводе этой формулы.
Вы с элементом площади (бесконечно малая величина) обращаетесь как с конечной величиной. Выискиваете блох.
Но там допускаются некоторые "вольности", которые, в итоге, не вносят ошибки в результат - величину площади конечного сектора.
1. На бесконечно малый сектор смотрим как на равнобедренный треугольник.
2. У этого треугольника высоту принимаем равной боковой стороне.
3. Основание треугольника приравниваем к дуге окружности (вот она появилась! единственный раз!).
В результате получаем формулу для элемента площади.
Величина этой площади, естественно, получается с некоторой погрешностью.
И здесь главное, что эта погрешность - величина более высокого порядка малости, чем элемент площади.
Затем интегрируем (здесь уже используется $r(\varphi)$ для параболы!) и получаем площадь конечного
сектора для параболы.

[svv]

frostysh
Вам нужно отложить эту книгу в сторону и со страшной силой взяться за матанализ. Потому что вот это — не дело:

frostysh в сообщении #1441359 писал(а):

мы поступим сначала немного проще, а именно запишем следующую равенство для небольшого но не бесконечно малого изменения:

$$\delta \cos{\varphi} = \dfrac{2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}}{1 + e^{2} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}} - \dfrac{2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta}}{1 + e^{2} - 2e\cos{\theta}} =$$

$$= \dfrac{\left(2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\right) \cdot \left(1 + e^{2} - 2e\cos{\theta}\right) - \left(1 + e^{2} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\right) \cdot \left(2e - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta}\right)}{\left(1 + e^{2} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\right) \cdot \left(1 + e^{2} - 2e\cos{\theta}\right)} =$$

$$= \dfrac{2e + 2e^{3} - 2e^{3}\cos{\theta} - \left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} - \left(1 + e^{2}\right)e^{2}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + 2e\left(1 + e^{2}\right)\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\cos{\theta} -}{1 + e^{2} - 2e\cos{\theta} + e^{2} + e^{4} - 2e^{3}\cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} - 2e^{3}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + 4e^{2}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\cos{\theta}}$$

$$\dfrac{- 2e + \left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta} - 2e^{3} + \left(1 + e^{2}\right)e^{2}\cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}\left(1 + e^{2}\right)\cos{\theta}}{1 + e^{2} - 2e\cos{\theta} + e^{2} + e^{4} - 2e^{3}\cos{\theta} - 2e\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} - 2e^{3}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)} + 4e^{2}\cos{\left(\theta + \delta\theta\right)}}$$

Вы теряете время, выкапывая канаву лопатой, когда давно существуют экскаваторы.
И совсем этот путь не проще, наоборот, сложнее.

[frostysh]

Someone

Используем формулу из Википедии для приближенного вычисления скорости тела на эллиптической орбите в какой-то момент времени

$$v = \sqrt{GM\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)},$$

где $GM$ — масса Солнца умноженная на гравитационную постоянную в системе СИ, $r$ — расстояние от фокуса где Солнце до объекта, $a$ — длина главной полуоси эллиптической орбиты. Разберусь когда-то с этой формулой, как-раз кстати по теме законов сохранения, второго закона Кеплера и закона всемирного тяготения Ньютона, да и интересно. Из соображений эллиптичности, максимальна скорость будет при минимальном расстоянии к Солнцу, а минимальная при максимальном. С этого сразу запишем разброс скорости

$$\vartriangle \negthickspace v = v_{\text{max}} - v_{\text{min}} = \sqrt{GM}\left( \negthickspace \sqrt{\left(\dfrac{2}{r_{\text{min}}} - \dfrac{1}{a}\right)} - \sqrt{\left(\dfrac{2}{r_{\text{max}}} - \dfrac{1}{a}\right)}\right) \negthickspace ,$$

вспоминая наши прошлые обозначения и рисунок эллипса, выразим максимальные и минимальные расстояния через эксцентриситет и главную полуось

$$\vartriangle \negthickspace v = \sqrt{GM}\left( \negthickspace \sqrt{\left(\dfrac{2}{a - ea} - \dfrac{1}{a}\right)} - \sqrt{\left(\dfrac{2}{a + ea} - \dfrac{1}{a}\right)}\right) = \sqrt{GM}\left( \negthickspace \sqrt{\dfrac{2a - a + ea}{\left(a - ea\right)a}} - \sqrt{\dfrac{2a - a - ea}{\left(a + ea\right)a}}\right) =$$

$$= \sqrt{GM}\left( \negthickspace \sqrt{\dfrac{1 + e}{\left(1 - e\right)a}} - \sqrt{\dfrac{1 - e}{\left(1 + e\right)a}}\right) = \sqrt{GM}\sqrt{\dfrac{1}{a}}\left( \negthickspace \sqrt{\dfrac{1 + e}{1 - e}} - \sqrt{\dfrac{1 - e}{1 + e}}\right) \negthickspace .$$

Апроксимируем эллипс кругом, как на рисунке.



Запишем для него орбитальную скорость исходя со второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения того же человека, для этого выберем радиус эллипса таким что

$$r_{c} = a + \dfrac{a - ea}{2} = \dfrac{\left(3 - e\right)a}{2},$$

соответственно выражение для постоянной скорости кругового орбитального движения будет

$$v_{c} = \sqrt{\dfrac{GM}{r_{c}}} = \sqrt{GM}\sqrt{\dfrac{1}{a}}\sqrt{\dfrac{2}{3 - e}}.$$

Разделим разброс скорости эллиптического орбитального движения на постоянную скорость кругового, чтобы узнать насколько эллиптичность разбрасывает скорость

$$\dfrac{\vartriangle \negthickspace v}{v_{c}} = \dfrac{\sqrt{GM}\sqrt{\dfrac{1}{a}}\left( \negthickspace \sqrt{\dfrac{1 + e}{1 - e}} - \sqrt{\dfrac{1 - e}{1 + e}}\right)}{\sqrt{GM}\sqrt{\dfrac{1}{a}}\sqrt{\dfrac{2}{3 - e}}} = \dfrac{\sqrt{\dfrac{1 + e}{1 - e}} - \sqrt{\dfrac{1 - e}{1 + e}}}{\sqrt{\dfrac{2}{3 - e}}} = \sqrt{\dfrac{\left(1 + e\right)\left(3 - e\right)}{2\left(1 - e\right)}} - \sqrt{\dfrac{\left(1 - e\right)\left(3 - e\right)}{2\left(1 + e\right)}},$$

отбрасывая покамест все что умножается на эксцентриситет в квадрате, получаем

$$\dfrac{\vartriangle \negthickspace v}{v_{c}} = \sqrt{\dfrac{3\left(1 + e\right)}{2\left(1 - e\right)}} - \sqrt{\dfrac{2\left(0.75 - e\right)}{1 - e}}.$$

По крайней мере будет как-то работать пока $e \leqslant 0.75$, кстати в формулу не входит в явном виде малая полуось, видать результат апроксимации что делалось в выражении для эллиптической скорости что было взято с Википедии. Коэффициент $3 / 2$ тоже интересен. Теперь нужно посмотреть сколько процентов разброса в скорости припадает на некую единицу длины эллиптической орбиты в среднем. Для этого надо бы найти длину эллипса, поэтому воспользуемся формулой некого Сриванаса Рамануджаны:

$$\ell = \pi\left(3a + 3b - \sqrt{\left(3a + b\right)\left(3b + a\right)}\right) \negthickspace ,$$

где $a$ и $b$ есть большая и малая полуось эллиптической орбиты. Но проблема в том что у нас есть только основная полуось и эксцентриситет, поэтому посмотрев на определения эллипса в собственных координатах придется выразить меньшую полуось как

$$b^{2} = a^{2} - F^{2} \quad \quad b = a\sqrt{1 - e^{2}}.$$

Перепишем соответствующую формулу

$$\ell = \pi a\left(3\left(1 + \sqrt{1 - e^{2}}\right) - \sqrt{\left(3 + \sqrt{1 - e^{2}}\right)\left(3\sqrt{1 - e^{2}} + 1\right)}\right) \negthickspace ,$$

вообщем незнаю уже упростить эту формулу, думаю пора заняться счетом, так как размерности совпадают более-менее. Запишем некоторую величину

$$\delta v_{\ell} = \dfrac{\dfrac{\vartriangle \negthickspace v}{v_{c}} \cdot 100\%}{\ell},$$

оно и будет характеризовать средний эллиптический разброс скоростей и соответственную неравномерность движения в сравни с случаем круговой орбиты в процентах на единицу длины

$$\delta v_{\ell} = \dfrac{\left(\sqrt{\dfrac{3\left(1 + e\right)}{2\left(1 - e\right)}} - \sqrt{\dfrac{2\left(0.75 - e\right)}{1 - e}}\right) \cdot 100\%}{\pi a\left(3\left(1 + \sqrt{1 - e^{2}}\right) - \sqrt{\left(3 + \sqrt{1 - e^{2}}\right)\left(3\sqrt{1 - e^{2}} + 1\right)}\right)},$$

нужно еще нарисовать график функции отношения разброса к круговой постоянной скорости в зависимости от эксцентриситета, хотя конечно опять непонятно почему не всчитывается малая полуось, это правда может быть следствие закона равных площадей отсекаемых для центральной силы.



Что-то не то получилось... Не должно так быстро расти этот разброс, смысл был в том чтобы доказать что разброс растет медленно и что можно использовать круг когда надо. Ладно, уже глаза устали, потом разберусь.

miflin

То есть, в пункте два мы прилепливаем основание треугольника к эллипсу считая окружностью или оно прилепливается к пустому пространству как в случае с секторами? Вообще не понял использования $r\left(\varphi\right)$, и причем здесь парабола?

svv

Да это я знаю, что надо учить математический анализ, но у меня плохо получается. Там кстати пропущенное слагаемое в длинной дроби — $+4e^{2}\cos{\left(\theta +\delta\theta\right)}$, смысл был в том, что у себя в тетради я проделал формульные расчеты и получилось что смог выразить сразу-же, без явного математического анализа приближенную формулу для изменения косинуса угла пустого фокуса $\delta\cos{\varphi}$, и потом мне удалось подсчитать там численно и что-то сказать в своей дискуссии с тем человеком, но запечатлив это в Латехе я вдруг понял что ошибся где-то в конце и неполучиться там так как я думал с самого начала.
А терять время, это да... Это мы умеем к сожалению лучше всего по ходу действия и по жизненной истории, ну хотя с другой стороны, в терянии времени и плохого особо ничего нету со взгляда высокоморального, минус в том что также нету никакого дохода денежнего.

[miflin]

[DimaM]

frostysh в сообщении #1441925 писал(а):

Используем формулу из Википедии для приближенного вычисления скорости тела на эллиптической орбите в какой-то момент времени

$$v = \sqrt{GM\left(\dfrac{2}{r} - \dfrac{1}{a}\right)},$$

где $GM$ — масса Солнца умноженная на гравитационную постоянную в системе СИ, $r$ — расстояние от фокуса где Солнце до объекта, $a$ — длина главной полуоси эллиптической орбиты.

Не знаю, что там написано в Википедии, но это точная величина скорости.

[miflin]

(Оффтоп)

DimaM в сообщении #1441987 писал(а):

это точная величина скорости.

Но и это не спасает ТС от... себя самого.