Функция Гамильтона

[nikita817]

Theoristos писал(а):

Как сумма кинетических энергий и попарные суммы потенциальных энергий. В "обычных" координатах вам уже приводили. В итоге для "обычных" координат получатся обычные уравнения движения.

Ну то есть считаю значение справа до запуска программ, L=0(?) и из под суммы вытаскиваю нужные мне значения для определенной планеты и "считаю ее вектор перемещения"?

$H=\sum\limits_{i=1}^np_i q_i' - L = C$

[Theoristos]

nikita817 в сообщении #1442272 писал(а):

Ну то есть считаю значение справа до запуска программ, L=0(?) и из под суммы вытаскиваю нужные мне значения для определенной планеты и "считаю ее вектор перемещения"?
$H=\sum\limits_{i=1}^np_i q_i' - L = C$

Вы её строите до запуска моделирования движения, система диф. уравнений движения получается в виде
$\frac{\partial q_i}{\partial t}=\frac{\partial H(p,q)}{\partial p_i}$,
$\frac{\partial p_i}{\partial t}=-\frac{\partial H(p,q)}{\partial q_i}$.
$i$ тут пробегает все $3n$ обобщенных координат и импульсов рассматриваемых n тел
Далее решаете систему для каждой из переменных.

Гамильтониан, для "обычных" координат будет равен $H=\sum\limits_{k=1}^n \frac{|\vec{p_k}|^2}{2 m_k} - \sum\limits_{k=1,j=1}^n \gamma \ \frac{m_k m_j}{|\vec{p_k}-\vec{p_j}|}$.
$k$ и $j$ тут пробегают n рассматриваемых небесных тел, переменные-вектора имеют по 3 компоненты. Первая часть- кинетическая энергия, вторая - потенциальная (она отрицательна).
Значение функции $H$ при движении сохраняется.

Лагранжиан $L$, конечно, нулю не равен. Приравнивается нулю вариация его интеграла, но то отдельная история.

[nikita817]

Theoristos писал(а):

Вы её строите до запуска моделирования движения, система диф. уравнений движения получается в виде
$\frac{\partial q_i}{\partial t}=\frac{\partial H(p,q)}{\partial p_i}$,
$\frac{\partial p_i}{\partial t}=-\frac{\partial H(p,q)}{\partial q_i}$.
$i$ тут пробегает все $3n$ обобщенных координат

А если двухмерная модель то $2n$?

-- 02.03.2020, 02:25 --

Theoristos писал(а):

Далее решаете систему для каждой из переменных.

Там я найду обобщенные координаты, перейду к "обычным", и там уже изменю положения планет на рисунке?

-- 02.03.2020, 02:27 --

Theoristos писал(а):

Значение функции $H$ при движении сохраняется.

То есть я изначально нахожу значение $H$ и через него потом каждую $\Delta T$ считаю ДУ и нахожу координаты?

[Theoristos]

nikita817 в сообщении #1442503 писал(а):

Theoristos писал(а):

система диф. уравнений движения получается в виде
$\frac{\partial q_i}{\partial t}=\frac{\partial H(p,q)}{\partial p_i}$,
$\frac{\partial p_i}{\partial t}=-\frac{\partial H(p,q)}{\partial q_i}$.
$i$ тут пробегает все $3n$ обобщенных координат

А если двухмерная модель то $2n$?

Упс, тут у меня опечатка :( Должно было быть "2n". Имелось в виду, что для каждой степени свободы 2 переменные - координата и импульс.
А уж степеней свободы по 3 на "трёхмерную" частицу и по 2 на двухмерную.

nikita817 в сообщении #1442503 писал(а):

Там я найду обобщенные координаты, перейду к "обычным", и там уже изменю положения планет на рисунке?

Совершенно верно. Обобщенные так же верно и полно определяют состояние системы, но чтоб нарисовать - надо из них найти "настоящие".

nikita817 в сообщении #1442503 писал(а):

То есть я изначально нахожу значение $H$ и через него потом каждую $\Delta T$ считаю ДУ и нахожу координаты?

Да, сначала определяете вид функции $H(p,q)$, и частные производные от неё подставляете в уравнения движения для обобщённых координат и находите координаты на новый момент времени (как писал, нужны начальные условия). В этом смысл Гамильтонова формализма.
Повторюсь, что для "обычных" переменных получатся "обычные" силы и уравнения движения (странно, если б получилось что-то иное). Удобность его (как уравнений Лагранжа) в возможности безошибочно перейти к каким-то удобным переменным движения. Ну и в широкой области не связанной напрямую с решением задачи движения - от инвариантов и скобок Пуассона и до статистической и квантовой механик.