Функция Гамильтона

[Pphantom]

nikita817 в сообщении #1441214 писал(а):

Но я все равно не понимаю, что может изменить движение по окружности, например на эллипс, когда есть просто 2 тела (одно стоит, а второе движется вокруг первого)?

Для движения по окружности модуль и направление скорости должны быть согласованы с ускорением. Если в начальный момент этого нет, то окружность не получится.

[nikita817]

Pphantom писал(а):

Для движения по окружности модуль и направление скорости должны быть согласованы с ускорением. Если в начальный момент этого нет, то окружность не получится.

Например если изначально тело движется со своим ускорением, а когда начинается вращаться вокруг неподвижного объекта, то у него получается две составляющих ускорение (нормальное и тангенциальное) и поэтому может быть тот же эллипс?

[Pphantom]

Очень примерно. Все-таки "начинать вращаться" оно в такой ситуации не будет.

[nikita817]

Pphantom писал(а):

Очень примерно. Все-таки "начинать вращаться" оно в такой ситуации не будет.

А если в начальный момент времени у движущегося тела нет ускоренияно с начальной скоростью, то движение будет по окружности?
Просто понять, что ускорение меняет траекторию просто, но сложно понять как на нее скорость будет влиять(начальная и вообще)

[Munin]

nikita817
Чтобы задать движение тела, надо задать начальное положение и начальную скорость. А ускорение вы не можете задавать: оно однозначно вычисляется из этого самого 2 закона Ньютона.

Так что переберите такие варианты:
- тело в начальный момент на расстоянии $r,$ скорость перпендикулярна радиусу, и составляет $\sqrt{GM/r}$;
- тело в начальный момент на расстоянии $r,$ скорость перпендикулярна радиусу, и меньше $\sqrt{GM/r}$;
- тело в начальный момент на расстоянии $r,$ скорость перпендикулярна радиусу, и больше $\sqrt{GM/r}$;
- тело в начальный момент на расстоянии $r,$ скорость нулевая;
ну и после этого можете подумать про
- тело в начальный момент на расстоянии $r,$ скорость произвольной величины и в произвольном направлении.

[nikita817]

Munin писал(а):

... в произвольном направлении.

и уже от этого будут разные исходы движения одного тела под действием другого?

А как быт, когда появится второе тело которое будет с основным и первым взаимодействовать?(когда уже больше 2 тел будут взаимодействовать с "Солнцем" условным)

[Утундрий]

У Фейнмана, кажется, приведен простейший симплектический интегратор второго порядка для случая сепарабельного гамильтониана - т.н. схема Верле. Не самый плохой выбор, учитывая специфику задачи.

[nikita817]

Утундрий в сообщении #1441263 писал(а):

У Фейнмана, кажется, приведен простейший симплектический интегратор второго порядка для случая сепарабельного гамильтониана - т.н. схема Верле. Не самый плохой выбор, учитывая специфику задачи.

ОГО! Вроде то что надо, спасибо огромное!!)

[Pphantom]

Утундрий в сообщении #1441263 писал(а):

т.н. схема Верле. Не самый плохой выбор, учитывая специфику задачи.

Угу. Но в таком контексте лучше искать метод Энке (на самом деле то же самое, просто примеры будут из подходящей предметной области).

[nikita817]

Pphantom писал(а):

Угу. Но в таком контексте лучше искать метод Энке (на самом деле то же самое, просто примеры будут из подходящей предметной области).

Я так понимаю допустим сначала я рассчитал силы, тем самым найдя ускорение для всех тел(векторно), потом использовав метод Верне или Энке рассчитал следующее положение через $\Delta t$ потом снова рассчитываю силы, из них нахожу ускорение(2-ой закон Ньютона) и нахожу положение через $\Delta t$ и так до бесконечности(в моем случае пока пользователь не остановит программу)?

[Утундрий]

Пара слов о визуализации. Довольно занятные картинки получаются из годографов векторов Лапласа-Рунге-Ленца каждой отдельной планеты. Эти векторы неподвижны в случае отсутствия взаимодействия между планетами, а при включении оного начинают выписывать замысловато заспираленные круги.

[Pphantom]

Да.

[Theoristos]

Вот здорово вам над человеком подтрунивать...

nikita817:
1. Гамильтониан - это не просто полная энергия, а полная энергия выраженная через специфические параметры - [обобщенные] координаты и импульсы. "Обычные" координаты и импульсы вполне подходят, но далеко не всегда являются лучшими по точности или удобству.

2. Для так выраженного гамильтониана есть стандартная и несложная форма получения уравнений движения - производная по времени от каждой [обобщенной] координаты выражается через производную от гамильтониана.

3. То есть задача превращается в задачу численного решения системы обыкновенных диф. уравнений первого порядка.
Решается обычно всякоразными методами конечных разностей. Непрерывную кривую движения во времени бьют на "шаги", по значениями параметров движения в каком-то наборе предыдущих расчитывают следующий.
Одни методы проще, другие быстрее или точнее (обычно можно выбрать одно). На каждую переменную нужно ещё начальное условие.

4. В ходе численного решения в большинстве случаев накапливаются ошибки, да так, что становятся заметны отклонения инвариантов - например энергия системы перестаёт сохраняться и красивые "вечные" эллипсы становятся мерзкими спиралями. Пара методов борьбы - или сразу взять хитровжаренную методу решения, которая не допускает такого несохранения, или решать корявым методом, но после каждого шага производить коррекцию - "проектирование" убежавшего состояния системы на поверхность с известным значением инварианта. Иногда бывает удобнее.

ps: а картинки действительно занятные получаются.

[nikita817]

Theoristos писал(а):

2. Для так выраженного гамильтониана есть стандартная и несложная форма получения уравнений движения - производная по времени от каждой [обобщенной] координаты выражается через производную от гамильтониана.

А гамильтониан как примерно выглядеть будет? Какого-то вида функция? И мне ее(производную по времени от каждой обобщенной координаты) интегрировать вручную или выч. методами(например Верле)?

-- 28.02.2020, 04:02 --

Theoristos писал(а):

"проектирование" убежавшего состояния системы на поверхность с известным значением инварианта. Иногда бывает удобнее.

А что значит "известные" значение инварианта?(можно, пожалуйста, пример в моем случае)

И смогу ли я также играючи использовать все это не только на планетах, но и на их спутниках?

[Theoristos]

nikita817 в сообщении #1441930 писал(а):

А гамильтониан как примерно выглядеть будет? Какого-то вида функция? И мне ее(производную по времени от каждой обобщенной координаты) интегрировать вручную или выч. методами(например Верле)?

Как сумма кинетических энергий и попарные суммы потенциальных энергий. В "обычных" координатах вам уже приводили. В итоге для "обычных" координат получатся обычные уравнения движения.

Аналитически выше задачи двух тел существенных успехов нет, так что численными методами. Что как раз по теме вашего образования. Методов довольно много, можно глянуть какие предпочитают небесные механики.

nikita817 в сообщении #1441930 писал(а):

А что значит "известные" значение инварианта?(можно, пожалуйста, пример в моем случае)

То есть, если в начальный момент, исходя из координат и импульсов общая энергия системы была равна xxx.xxxx - то это число обязано остаться таковым и для всех последующих моментов времени. Если уползло - можно попробовать сдвинуть в "ближайший" набор координат-импульсов с таким значением энергии. Иногда удобно, если без фанатизма.
Кроме энергии можно взять ещё и общий импульс, момент импульса.

Wolfram Mathematica некогда гордилась такими трюками.

nikita817 в сообщении #1441930 писал(а):

И смогу ли я также играючи использовать все это не только на планетах, но и на их спутниках?

Тут вылазит вопрос точности и, в некотором роде, "жесткости" уравнений, откуда следует проблема временных затрат.

1. С ростом числа спутников число членов потенциальной энергии в гамильнониане растёт квадратично. Итого, линейно растёт как число диф. уравнений, так и число членов в этих уравнениях. При том, большинство из них будет давать мизернейший вклад, описывающий энергии притяжения между Луной и чайником в поясе Койпера.

2. Какой брать шаг интегрирования? Для медленно кружащихся планет - доли года, для низко летящих спутников - возможно и часы. Но тогда и планеты прийдётся считать с таким, излишне мелким шагом. Может быть возможно победить переходом к "правильным" переменным, если не запутаетесь во возросшей сложности.
Можно поискать книги по небесной механике, хорошие методы скорее всегодавно разработаны.

... хотя с нынешними мощностями компов можно забрутфорсить всё в дабл и распределить по ядрам, возможно и сотни небесный тел удастся считать с приемлимой точностью.