Возможно, мой пример не является ответом на вопрос автора, но взаимно однозначное соответствие между точками пространства размерности N и размерности 1 в данном случае имеет место.
Неа. Если у вас есть значит непрерывное инъективное отображение

, где

— промежуток

,

— многообразие, то

имеет размерность 1 (если оно многообразие — я не знаю, нет ли патологических случаев). Если

неинъективно (что стоило бы разрешить для произвольной траектории), я лучше вообще про

говорить не буду — но стоит перейти к гладким многообразиям и дифференцируемым отображениям, и неинъективный случай гарантирует размерность 1 у

. А как тут выше замечали, в физике «негладких», произвольных многообразий обычно мало.
-- Чт фев 27, 2020 01:00:45 --Повторюсь:
так что непонятно, как это должно быть связано с вопросом ТС, и не очень понятно, что вы в точности имеете в виду кстати (мне пришлось додумывать) и каким образом это аргумент или контраргумент к чему.