Вопрос про степени свободы

[versham]

Насколько я знаю, число степеней свободы - это кол-во чисел, необходимых для полного описания состояния системы. Но с другой стороны, существует биекция $\mathbb{R}^n \leftrightarrow \mathbb{R}$. То есть можно задать состояние любой системы одним вещественным числом. Не теряется ли из-за этого смысл понятия степеней свободы?

[pogulyat_vyshel]

Число степеней свободы это размерность пространства виртуальных перемещений
Болотин Карапетян Кугушев Трещев Теоретическая механика

[Someone]

(Оффтоп)

versham в сообщении #1441228 писал(а):

существует биекция $\mathbb{R}^n \leftrightarrow \mathbb{R}$. То есть можно задать состояние любой системы одним вещественным числом

Можно. А Вы когда-нибудь такую биекцию видели? Как Вы с ней будете работать?
Но проблемы с "работать" не главные. Главная проблема с определением числа степеней свободы.

Кстати, обратите внимание, что состояние механической системы, состоящей из одного протяжённого абсолютно твёрдого тела, задаётся девятью числами (три координаты, три компоненты импульса, три компоненты момента импульса. А сколько там степеней свободы?

[pogulyat_vyshel]

Someone в сообщении #1441243 писал(а):

состояние механической системы, состоящей из одного протяжённого абсолютно твёрдого тела, задаётся девятью числами (три координаты, три компоненты импульса, три компоненты момента импульса.

еще три координаты добавить не хотите?

[EXE]

versham в сообщении #1441228 писал(а):

... существует биекция $\mathbb{R}^n \leftrightarrow \mathbb{R}$. То есть можно задать состояние любой системы одним вещественным числом. Не теряется ли из-за этого смысл понятия степеней свободы?

Например, движение манипулятора с числом степеней свободы N можно описать одной степенью свободы. И смысл при этом не теряется, потому что сделать это можно бесконечным числом способов, решая одну и ту же задачу.

[Guvertod]

Биекция есть между множествами, но нет диффеоморфизма между этими многообразиями. Если вопрос касается теоретической механики как абстракции, то его надо решить просто внимательно проанализировав определения.

Говоря же с точки зрения реальной физики, нам нужно описание системы не просто в виде биективной нумерации каждого состояния , а чтобы эта нумерация удовлетворяла некоторым разумным требованиям, которые в физике как данность.
В частности, чтобы слабо отличающиеся состояния были близкими точками, чтобы в этой модели можно было бы проводить разумные операции, подразумевающие дифференцируемость и т.п.
А это отображение все рушит и делает уродство.

[Someone]

pogulyat_vyshel в сообщении #1441247 писал(а):

еще три координаты добавить не хотите?

А, ну да, про три угла забыл.

[Red_Herring]

EXE в сообщении #1441276 писал(а):

Например, движение манипулятора с числом степеней свободы N можно описать одной степенью свободы. И смысл при этом не теряется, потому что сделать это можно бесконечным числом способов, решая одну и ту же задачу.

Смысл при этом теряется полностью, поскольку как правильно отмечено

Guvertod в сообщении #1441315 писал(а):

чтобы слабо отличающиеся состояния были близкими точками, чтобы в этой модели можно было бы проводить разумные операции, подразумевающие дифференцируемость и т.п.

[Munin]

В общем, для небольших множеств полезно понятие мощности. Сначала конечные, потом счётные и мощности континуума.
А для больших множеств это понятие уже не так полезно, оно "недостаточно детально". И среди пространств с одной мощностью - удобно различать пространства с разными размерностями. Опять же, число измерений может быть разным конечным, потом счётным, континуальным.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1441344 писал(а):

А для больших множеств это понятие уже не так полезно, оно "недостаточно детально".

Ой, оно и для счётных и конечных недостаточно детально. Сравним $\mathbb Q$ и $\mathbb N$, сравним $\mathbb Z_{2^k}$ и $\mathbb Z_2^k$… Вообще вспоминать мощность — подобно обращению к свободе слова в попытках защитить свою позицию:

(больше полноты)

https://xkcd.com/1357 «Free Speech», alt text писал(а):

I can't remember where I heard this, but someone once said that defending a position by citing free speech is sort of the ultimate concession; you're saying that the most compelling thing you can say for your position is that it's not literally illegal to express.

если мы не можем об объекте сказать ничего кроме мощности его носителя (и если бы он всегда вообще был один!), но не занимаемся при этом именно теорией множеств, то это значит, что мы делаем что-то очень сильно подозрительное.

[EXE]

Red_Herring в сообщении #1441332 писал(а):

Смысл при этом теряется полностью, поскольку как правильно отмечено

Вы говорите о расчёте кинематики манипулятора (рычажного механизма)? Потому что в данном случае это утверждение

Guvertod в сообщении #1441315 писал(а):

чтобы слабо отличающиеся состояния были близкими точками, чтобы в этой модели можно было бы проводить разумные операции, подразумевающие дифференцируемость и т.п.

не соответствует действительности.

[Red_Herring]

EXE в сообщении #1441386 писал(а):

Вы говорите о расчёте кинематики манипулятора (рычажного механизма)?

Обо всем. За пределами теории множеств равная кардинальность особого смысла не имеет, и Кантор это прекрасно понимал и продемонстрировал, придунэмав Канторов континуум.

[arseniiv]

EXE
Если у вас есть манипулятор, вы же не рассматриваете только один конкретный способ его движения? Тогда вам не удастся рассматривать только $\mathbb R$ (моменты времени, от которого зависит состояние манипулятора, жвущее в некотором многообразии). Кроме того такое отображение не биекция (ну кроме случая, когда то многообразие изоморфно промежутку $\mathbb R$), так что непонятно, как это должно быть связано с вопросом ТС, и не очень понятно, что вы в точности имеете в виду кстати (мне пришлось додумывать) и каким образом это аргумент или контраргумент к чему.

[EXE]

arseniiv в сообщении #1441475 писал(а):

EXE
Если у вас есть манипулятор, вы же не рассматриваете только один конкретный способ его движения? Тогда вам не удастся рассматривать только $\mathbb R$ (моменты времени, от которого зависит состояние манипулятора, жвущее в некотором многообразии). Кроме того такое отображение не биекция (ну кроме случая, когда то многообразие изоморфно промежутку $\mathbb R$), так что непонятно, как это должно быть связано с вопросом ТС, и не очень понятно, что вы в точности имеете в виду кстати (мне пришлось додумывать) и каким образом это аргумент или контраргумент к чему.

При определении траектории движения координаты всех точек можно свести к зависимости от одной переменной. Это взаимно однозначное соответствие на подмножествах всей траектории движения, пусть под R будет время. При этом число управляющих параметров значения не имеет. Да, множество видов таких зависимостей бесконечно и несчётно для конкретной траектории.
Возможно, мой пример не является ответом на вопрос автора, но взаимно однозначное соответствие между точками пространства размерности N и размерности 1 в данном случае имеет место. Собственно, я сразу же на всякий случай сказал, что количество таких зависимостей бесконечно при решении одной и той же задачи.

[pogulyat_vyshel]