Вопрос про степени свободы

[Guvertod]

EXE
Иными словами вы хотите заметить, что вместо $n$-мерного пространства и уравнений, можно задать все его решения - 1-мерные кривые на нем?
Это, конечно, верно, но это не имеет смысла и не относится к обсуждаемому определению.

[EXE]

Guvertod в сообщении #1441659 писал(а):

Иными словами вы хотите заметить, что вместо $n$-мерного пространства ... можно задать все его решения - 1-мерные кривые на нем?

Да, наверно, это можно назвать такими словами, если именно в таких терминах.

Guvertod в сообщении #1441659 писал(а):

это не имеет смысла

У манипулятора N степеней свободы, его движение взаимно однозначно сводится к 1. Что при этом не имеет смысла?

[Guvertod]

EXE
Может, "нет смысла" (вообще) было не очень подходящим выражением. Это просто не относится к понятию о числе степеней свободы и вопросу автора.

EXE в сообщении #1441650 писал(а):

взаимно однозначное соответствие между точками пространства размерности N и размерности 1 в данном случае имеет место.

И вы ведь понимаете, что не между всеми точками из пространства, а только теми, которые принадлежат кривой? То есть тут соответствие - фиксированная кривая движения и число, что довольно тривиально.
Но в общем случае и однозначность необязательна , точка может в разное параметрическое время находиться в одной и той же точке пространства.

[EXE]

Guvertod в сообщении #1441682 писал(а):

И вы ведь понимаете, что не между всеми точками из пространства, а только теми, которые принадлежат кривой?

Понимаю.

Guvertod в сообщении #1441682 писал(а):

точка может в разное параметрическое время находиться в одной и той же точке пространства.

Коряво, но я, вроде бы, об этом говорил.

EXE в сообщении #1441650 писал(а):

Это взаимно однозначное соответствие на подмножествах всей траектории движения

Guvertod в сообщении #1441682 писал(а):

То есть тут соответствие - фиксированная кривая движения и число, что довольно тривиально.

Зато процесс получения такой кривой не очень тривиальный.

[arseniiv]

EXE в сообщении #1441650 писал(а):

Возможно, мой пример не является ответом на вопрос автора, но взаимно однозначное соответствие между точками пространства размерности N и размерности 1 в данном случае имеет место.

Неа. Если у вас есть значит непрерывное инъективное отображение $f\colon I\to K$, где $I$ — промежуток $\mathbb R$, $K$ — многообразие, то $f(K)$ имеет размерность 1 (если оно многообразие — я не знаю, нет ли патологических случаев). Если $f$ неинъективно (что стоило бы разрешить для произвольной траектории), я лучше вообще про $f(K)$ говорить не буду — но стоит перейти к гладким многообразиям и дифференцируемым отображениям, и неинъективный случай гарантирует размерность 1 у $f(K)$. А как тут выше замечали, в физике «негладких», произвольных многообразий обычно мало.

-- Чт фев 27, 2020 01:00:45 --

Повторюсь:

arseniiv в сообщении #1441475 писал(а):

так что непонятно, как это должно быть связано с вопросом ТС, и не очень понятно, что вы в точности имеете в виду кстати (мне пришлось додумывать) и каким образом это аргумент или контраргумент к чему.

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Формально говоря (если не брать в расчет неавтономные системы и еще некоторую экзотику), динамическая система классической механики это четверка объектов $(M,D,L,Q)$, где
1) $M$ -- гладкое многообразие $\mathrm{dim}\,M=m$ с $p$-мерной гладкой дифференциальной системой $D=\{D_x\},\quad D_x\subset T_xM$;
2) гладкая функция

$$L:TM\to\mathbb{R},\quad L=L(x,\xi),\quad x\in M,\quad \xi\in T_xM$$

такова, что матрица $\frac{\partial^2 L}{\partial \dot x^2}$ положительно определена;
3) в каждой локальной системе координат $(x,\xi)$ многообразия $TM$ задан набор функций $Q(x,\xi)=(Q_1,\ldots,Q_m)(x,\xi)$, который при заменах координат

$$x=x(x'),\quad \xi^i=\frac{\partial x^i}{\partial x^{j'}}\xi^{j'}$$

преобразуется по закону

$$Q_{j'}=Q_i\frac{\partial x^i}{\partial x^{j'}}.$$

Число $p$ называется числом степеней свободы. Функция $L$ называется лагранжианом; $Q$ -- обобщенные силы, $D$ -- идеальные связи; $M$ -- конфигурационное многообразе.

[Munin]

pogulyat_vyshel
А если в системе есть трение?