Как научиться доказывать теоремы?

[Gladiator1995]

Как научиться доказывать теоремы? Вот, например, беру я учебник математического анализа, читаю условие теоремы, доказательство не смотрю, а в голову ничего не приходит. Что мне делать тогда? Как этому научиться? Просто складывается ощущение, что какой-то подгон есть в математическом анализе, когда доказательство ведется на эпсилон-дельта языке.

[se-sss]

Хороший вопрос, кстати.
Мне кажется, это как в шахматах, один видит на один свой ход вперёд, другой имеет чувство, у чему этот ход приведёт через 10 ходов.
Тренироваться можно, особенно знание всяких методов уже изобретённых полезно, но радикально способности не изменятся.

Gladiator1995 в сообщении #1434517 писал(а):

что какой-то подгон есть в математическом анализе

Понятно, что есть. В книге - это не "живое рассуждение" обычно, а особенно в книгах по математике. Автор уже знает, чего он хочет и к чему он хочет прийти и каким способом.
Зато "живое рассуждение" можно встретить довольно часто на семинарских занятиях, когда преподаватель со студентами решают задачи.

[Padawan]

Надо хорошо знать определения. Если речь о мат.анализе, берите Демидович и решайте подряд.

[Vladimir-80]

Gladiator1995 в сообщении #1434517 писал(а):

Как научиться доказывать теоремы?

А разве не этому учат в школе? В моё время так и было. Дан набор аксиом. Дана теорема. А дальше начинается творческий поиск и рассмотрение аксиом применительно к условиям теоремы. Оно как-то само собой происходит, и чем больше в этом деле опыта - тем легче.
Но это не каждому дано. Кому-то математика заходит легко и с удовольствием, а кому-то хуже горькой редьки. Зато этот кто-то может рисует замечательно или песни пишет душевные.

[Munin]

В разных разделах математики разные типичные приёмы рассуждений и доказательств. Так что стоит смотреть на другие доказательства в этом же разделе, и подражать им.

"Ощущение подгона" в математическом анализе есть, и неспроста, поскольку в конкретных случаях "дельта по эпсилон" можно подобрать, если заранее знаешь ответ (например, производную от функции). Но в общем случае эта возможность просто постулируется, и из этого постулированного свойства выводятся, как следствие, другие свойства. К этому надо привыкнуть: к стилю рассуждений "допустим, что...".

[Vladimir-80]

Munin в сообщении #1434562 писал(а):

К этому надо привыкнуть: к стилю рассуждений "допустим, что...".

Так ведь один из мощных методов же. Допустили, пошли по ниточке идеи допущения, упёрлись в стену или в конфуз - значит, не то допустили. Возвращаемся к печке, пробуем допустить что-нибудь другое.

[Утундрий]

Gladiator1995 в сообщении #1434517 писал(а):

Как научиться доказывать теоремы?

Для начала - методом грубой силы и случайного перебора.

[Sicker]

Доказать это значить убедить себя в правильности утверждения. Вы для начала должны попробовать выяснить, является ли утверждение истинным, как можете. А потом если глянете формальное доказательство, то вы найдете много схожих моментов с вашими

[bondkim137]

Padawan в сообщении #1434551 писал(а):

берите Демидович и решайте подряд

Демидовича подряд хорошая мотивация нужна. Например, крестик получить и бояться гробика (c).

[Anton_Peplov]

Gladiator1995 в сообщении #1434517 писал(а):

Вот, например, беру я учебник математического анализа, читаю условие теоремы, доказательство не смотрю, а в голову ничего не приходит.

Это неудивительно. Теоремы в матане не такие простые, чтобы средний студент мог их просто так взять и доказать без подсказок.

Есть сборники задач на доказательство, специально рассчитанные на то, чтобы тренировать этот навык.

Anton_Peplov в сообщении #1215244 писал(а):

По алгебре есть задачник Кострикина. Около матана есть Очан. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного - там задачи про множества, функции, непрерывность. Сборников задач на доказательство по дифференциальному и интегральному исчислению не знаю, сам бы не отказался.

Демидович - это сборник задач в основном на навыки преобразований (найти предел, интеграл, производную и т.д.). Насколько они полезны для навыка доказывания, мне трудно судить.

[feedinglight]

Формулировка теоремы, которая заведомо на 99.999% правильная, позволяет сэкономить 99.99% усилий на её вывод, плюс заданы аксиоматика, определения, предыдущие теоремы (и всё задано в довольно перевариваемом виде), остаётся только из исходной точки добраться до нужной теоремы. Плюс, известно, что доказательство короткое, это тоже сильно помогает.

Anton_Peplov

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1441654 писал(а):

Есть сборники задач на доказательство

Можно пожалуйста ссылок/авторов/названий? У меня просто большие проблемы с этим.

[Anton_Peplov]

feedinglight в сообщении #1441663 писал(а):

Формулировка теоремы, которая заведомо на 99.999% правильная, позволяет сэкономить 99.99% усилий на её вывод, плюс заданы аксиоматика, определения, предыдущие теоремы (и всё задано в довольно перевариваемом виде), остаётся только из исходной точки добраться до нужной теоремы. Плюс, известно, что доказательство короткое, это тоже сильно помогает.

Всё это верно и для сборника задач вида "Докажите, что...". Только теоремы там такие, чтобы средний студент доказал, а не такие, что в честь великих математиков названы.

feedinglight в сообщении #1441663 писал(а):

Можно пожалуйста ссылок/авторов/названий?

Те, которые знал, я назвал.

Кострикин. Сборник задач по алгебре.
Очан. Сборник задач и теорем по теории функций действительного переменного
Других не знаю, но думаю, что их можно найти, если искать.

[feedinglight]

Anton_Peplov
Благодарю.

[FL91]

feedinglight

Если брать математический анализ, то ещё есть

А. Я. Дороговцев Математический анализ. Сборник задач. и
Б. М. Макаров, М. Г. Голузина, А. А. Лодкин, А. Н. Подкорытов Избранные задачи по вещественному анализу.

[seregamaxonin]

Вообще то не люблю доказывать то, что кажется очевидным.
И как правильно доказывать - опираясь только на постулаты или на уже пройденный материал? Проходить можно ведь по разному, по разным программам обучения. Кто то это прошел, а кто то еще не прошел.
А любимые мои методы доказательства - метод математической индукции и "от противного " .