вопросы о dx и функ. от pi переменных

[shwedka]

Amigo

Цитата:

Но эти определения - нечего не проясняют.

прочитайте еще раз. Не пытайтесь перевести на бытовой язык.

Цитата:

Меня это не удовлетворяет.

Никуда не денетесь. Ради Вас определение предела переделывать не станут.

Цитата:

Я вообще не могу понять, что такое переменная величина и как она может куда-то стремиться.

Вот здесь-то разговор серьезный. Советское писание учебников было под идеологическим влиянием. А там ссылались на Энгельса, который писал о революции в математике, произведенной 'декартовой переменной величиной' И мне попадались старые (50-80) учебники анализа, в которых глубокомысленно 'определялась' переменная величина как величина, зависящая от времени, а через страницу - функция как зависимость двух переменных величин.
В настоящей математике переменная величина НЕ МЕНЯЕТСЯ в бытовом смысле этих слов. Термин такой есть. И никуда она, конечно, в бытовом смысле не стремится. Опять, есть математическое содержание у этого термина, но далекое от бытового. Если $\lim_{n\to\infty}a_n=4$, то говорят, что последовательность $a_n$ СТРЕМИТСЯ К 4 НА БЕСКОНЕЧНОСТИ .
Если $\lim_{x\to1}(x^2-1)=0$, то ГОВОРЯТ, что функция $x^2-1$ СТРЕМИТСЯ к нулю (или является бесконечно малой) в точке 1.
Говорят так, термин такой. К движению ни малейшего отношения не имеющий. А Вы пытаетесь найти дурь в понимании этих слов на бытовом уровне. Это все равно, как встретив технический термин ВОРОТНИК как часть механизма, вы бы стали ругаться на отсутствие описания пальто, на котором воротник пределан.

Добавлено спустя 9 минут 17 секунд:

Amigo

Цитата:

Мне, как человеку интересы которого больше лежат в области философии и реального мира-
нужны больше бытовые понимания,

Да не нужны Вам бытовые понимания. ДА И НЕТ ИХ!!!!

Цитата:

а не некоторые неудобовразумимые вещи, сплошь и рядом встречающиеся в математике.

такие вещи неудобовразумительны для посторонних, но вполне вразумительны для специалистов. Математические книги пишутся для математиков.

Цитата:

Откройте любой учебник, там так и сказано. Зачем путать людей?

Предлагаю два выхода. Не открывайте то, что Вам не по зубам. Или разберитесь по существу, не ограничиваясь чтением отдельных слов.

[вздымщик Цыпа]

Amigo в сообщении #143908 писал(а):

Я вообще не могу понять, что такое переменная величина и как она может куда-то стремиться. Я знаю только одно - есть числа, они находятся на своих местах, и некуда не стремятся.

не помню кто писал(а):

Я не понимаю, что имеют ввиду, когда говорят, что шесть относится к четырем как три к двум. Знаю, можно к кому-то хорошо относиться, можно плохо. Но относиться как три к двум?... Не понимаю.

Вообще у нас в языке мало слов. Приходится употреблять одни и те же в разных случаях. Течет ручей и время тоже течет, хоть и не журчит. По прерии скачут бизоны, а при простуде скачет температура. Ну чем же она скачет, где ее ноги? Вот и здесь, переменные, последовательности и функции неудержимо стремятся куда-то своим специфическим образом и надо понимать, что это не тоже самое стремление, что обогатиться или прославиться. Вон у физиков есть очарованные кварки и запутанные состояния...

[Профессор Снэйп]

PAV писал(а):

Ну если уж начинать фантазировать... Количество переменных - это размерность пространства, на котором задана функция. Если взять, скажем, фрактал, имеющий дробную размерность, и определить на нем каким-либо образом функцию, то можно было бы сказать, что мы имеем функцию от нецелого числа переменных.

Я бы добавил, что не просто количество переменных, а количество действительных переменных.

Так-то, конечно, все функции от одной переменной. Если считать, что переменные принимают значения во множестве $X$, а значение функции принадлежит $Y$, то такая функция от двух переменных --- это просто функция из $X^2$ в $Y$, то есть функция от одной переменной, принимающей значения в $X^2$. Ну и вследствии этого ясно, что для произвольного $\alpha \in \mathbb{R}$ определить, что такое функция от $\alpha$ переменных равносильно тому, чтобы определить $X^\alpha$. То есть нужно распространить значение декартовой степени на не натуральный показатель.

Сомневаюсь, что это можно разумно сделать.

[вздымщик Цыпа]

Профессор Снэйп в сообщении #144021 писал(а):

То есть нужно распространить значение декартовой степени на не натуральный показатель.

Если существует $Y$ такое, что $X = Y^2$, то можно считать, что $Y = X^{1/2}$. А функцию $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ такую, что $f(x) = f(y) \Leftrightarrow \mathop{\mathrm{ Im}}(x) = \mathop{\mathrm{Im}}(y)$ можно обозвать функцией от половины комплексного аргумента. Другое дело, что смысла в этом немного.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Так-то, конечно, все функции от одной переменной. Если считать, что переменные принимают значения во множестве $X$, а значение функции принадлежит $Y$, то такая функция от двух переменных --- это просто функция из $X^2$ в $Y$, то есть функция от одной переменной, принимающей значения в $X^2$.

Идея интересная; вот только что будем делать с частными производными?
А вообще конечно не до жиру. Функцию бы определить хоть как то

[OZH]

Вы будете смеяться, но под знаком интеграла стоит ... дифференциал! Неопределённый интеграл --- это отображение, сопоставляющее функции целое семейство функций... Тождество

$\int\, df(x)=f(x)+C$

одзначает, что операция интегрирования противоположна операции дифференцирования. И, если дифференцирование сопоставляет функции одну единственную, то интегрирование оставляет некоторый произвол в действиях: первообразных много.

Добавлено спустя 2 минуты 16 секунд:

Dan B-Yallay писал(а):

Функцию бы определить хоть как то

Беда всех определений в том, что они все неконструктивны. По идее, функция --- это нечто, позволяющее вместо одних объектов рассматривать другие. Но от этого не легче.

[вздымщик Цыпа]

Dan B-Yallay в сообщении #144096 писал(а):

Идея интересная; вот только что будем делать с частными производными?

Если обязательно требовать, чтобы производная функции была функцией «того же сорта», то определить не получится. А если нет, то не проблема:
$g: {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}$, $g':{\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2$. $g'(x,y) = \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)$.

[Профессор Снэйп]

вздымщик Цыпа писал(а):

А функцию $f:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ такую, что $f(x) = f(y) \Leftrightarrow \mathop{\mathrm{ Im}}(x) = \mathop{\mathrm{Im}}(y)$ можно обозвать функцией от половины комплексного аргумента.

Забавно, что Вы там эквивалентность написали, а не импликацию справа налево. По Вашему, если нет инъективности, то аргумент не считается?

Посмотрите здесь стр. 51, предпоследний абзац и сноску номер 39. Что скажете? Я вот всё больше прихожу к мысли, что "местность функции" --- какое-то искусственное, совершенно не нужное понятие. "Проблема местности" высосана из пальца. Но всё же, если мы говорим о местности, то я считаю, что функции действительных аргументов $f(x) = x^2$ и $g(x,y) = y + x^2 - y$ различны: первая имеет местность $1$, а вторая --- местность $2$. После замены $z = x + iy$ именно $f(z)$ будет функцией половины комплексного аргумента, в то время как $g(z)$ --- нормальная одноместная функция из $\mathbb{C}$ в $\mathbb{R}$.

P. S. А что такое дифференциал, я до сих пор плохо понимаю. Более того, нас учили, что

$$ \int\limits_{[0,1]} f $$

есть более правильное обозначение, чем

$$ \int\limits_0^1 f(x) dx $$

Первым способом мы записывали лебеговский интеграл, вторым --- ньютоновский и римановский. Но по Лебегу-то интегрирование посолидней будет!

[Brukvalub]

Профессор Снэйп в сообщении #144152 писал(а):

P. S. А что такое дифференциал, я до сих пор плохо понимаю. Более того, нас учили, что

$$ \int\limits_{[0,1]} f $$

есть более правильное обозначение, чем

$$ \int\limits_0^1 f(x) dx $$

Первым способом мы записывали лебеговский интеграл, вторым --- ньютоновский и римановский. Но по Лебегу-то интегрирование посолидней будет!

Вот-вот. Одно из мнений, зачем нужен dx - он указывает, что интегрирование идет по Жордановой мере, а если по Лебеговой, то пишут $\int {fd\mu } $, где ${d\mu }$ - Лебегова мера.

[вздымщик Цыпа]

Профессор Снэйп в сообщении #144152 писал(а):

Забавно, что Вы там эквивалентность написали, а не импликацию справа налево.

Ну да, верно, надо было '$\Leftarrow$'

Профессор Снэйп в сообщении #144152 писал(а):

Но всё же, если мы говорим о местности, то я считаю, что функции действительных аргументов $f(x) = x^2$ и $g(x,y) = y + x^2 - y$ различны

К тому же $g$ может быть определена не на всем $\mathbb R^2$ и даже не на прямоугольнике и тогда значение $y$ влияет на присутствие значения $g$. Тогда различие становится совсем явным.

А с другой стороны, пример из сноски функции «безусловно» от двух аргументов $f(x,y) = x + y$ можно представить как функцию одного аргумента -- $x+y$.

[Dan B-Yallay]

вздымщик Цыпа писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #144096 писал(а):

Идея интересная; вот только что будем делать с частными производными?

Если обязательно требовать, чтобы производная функции была функцией «того же сорта», то определить не получится. А если нет, то не проблема:
$g: {\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}$, $g':{\mathbb R}^2 \to {\mathbb R}^2$. $g'(x,y) = \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)$.

Хорошо,
Раз мы хотим считать $g(x,y)$ фунцией от одной переменной, то по определению производной $g'(x,y)$ она не должна зависеть от способа стремления пары $(\Delta x, \Delta y)$ к нулю. Так что в лучшем случае получим некий аналог условий Коши-Римана связывающий частные производные, а в худшем - нулевую производную повсюду. То есть $ \left(\frac{\partial g}{\partial x}, 0 \right) = \left(0, \frac{\partial g}{\partial y} \right)$. Из чего следует $g'(x,y) = (0,0)$.

Или я неправ?

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Раз мы хотим считать $g(x,y)$ фунцией от одной переменной, то по определению производной $g'(x,y)$ она не должна зависеть от способа стремления пары $(\Delta x, \Delta y)$ к нулю. Так что в лучшем случае получим некий аналог условий Коши-Римана связывающий частные производные, а в худшем - нулевую производную повсюду. То есть $ \left(\frac{\partial g}{\partial x}, 0 \right) = \left(0, \frac{\partial g}{\partial y} \right)$. Из чего следует $g'(x,y) = (0,0)$.

Или я неправ?

Думаю, что неправ. При чём здесь способы стремления пары $(\Delta x, \Delta y)$ к нулю и условия Коши-Римана? Мы ведь на элемент $\mathbb{R}^2$ не делим!

Определение

$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

работает только в одномерном случае. Для многомерного случая мы изначально определяем производную по другому. А условия Коши-Римана проистекают из-за того, что мы распространяем "одномерное" определение на комплексный случай, пользуясь тем, что $\mathbb{C}$ --- поле.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Определение

$$ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$

работает только в одномерном случае. Для многомерного случая мы изначально определяем производную по другому.

Если вы об этом:

$g'(x,y) = \left(\frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}\right)$

то зачем фактически две различные переменные называть одной? Ведь работать с ними все равно придется раздельно.

Если нет - покажите свое определение.

[Профессор Снэйп]

Dan B-Yallay писал(а):

Если вы об этом...

Про производные не я начал. Я всего лишь пытался обсудить такое понятие, как количество переменной у функции. Ну и насчёт условий Коши-Римана встрял, ибо они были явно не в тему.

Насколько я понимаю, для функций из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^m$ первичным является понятие дифференциала как линейного оператора из $\mathbb{R}^n$ в $\mathbb{R}^m$, приближающего функцию в окрестности точки с первым порядком малости. Производная --- это уже что-то вторичное, способ задания дифференциала, если угодно. В случае $n=m=1$ каждый линейный оператор есть просто умножение на константу, ну и константу, умножение на которую определяет дифференциал, называют производной. А в случае $n=2$ и $m=1$ было предложено производной называть вектор градиента, то есть элемент $\mathbb{R}^2$, скалярное произведение на который задаёт дифференциал. Насколько это хорошо или общепринято --- я не знаю.

[Сомик]

Дмитрий Келлерман писал(а):

привет всем!!! Меня интересуют такие вопросы:1) какую роль играет dx в интеграле
$\int f(x)dx$

По моему $dx$ просто "наследуется" от $x_{i-1}-x_i$. При этом $dx$ именно умножается на $f(x)$. И вот почему, когда рассматривается

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i)(x_{i-1}-x_i)$$

, где $x_i = a + (b-a)*i/n$. Тогда

$$lim_{n \to \infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)(x_{i-1}-x_i) = \int_a^b f(x) dx$$

. И в силу того что

$$\sum_{i=1}^{n} f(x_i)(x_{i-1}-x_i)=\sum_{i=1}^{n} (x_{i-1}-x_i)f(x_i)$$

, физики часто пишут $\int_a^b dx f(x)$