Cвойства определителей !

[daogiauvang]

Доказать что :
1 $ det A =det A^{T}$
2. $det AB =det A.det B$

[zoo]

daogiauvang писал(а):

Доказать что :
1 $ det A =det A^{T}$
2. $det AB =det A.det B$

а учебник читать религиозные убеждения не позволяют?

[Профессор Снэйп]

Ну почему Вы не хотите обозначать умножение точкой в центре? Точка снизу выглядит совсем неприятно!

$$ \mathrm{det} AB = \mathrm{det} A \cdot \mathrm{det} B $$

$$
\mathrm{det} AB = \mathrm{det} A \cdot \mathrm{det} B
$$

А по поводу основного вопроса темы. Первый пункт тривиален и доказывается сразу из определения определителя. Второй чуть посложнее, но... это такая классика, в любом учебнике по алгебре найти можно!

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #144016 писал(а):

Первый пункт тривиален и доказывается сразу из определения определителя.

Это зависит от определения. Можно, к примеру, считать по определению $\det A$ функцией столбцов квадратной матрицы $A$, обладающей тремя свойствами:
1. Линейность по любому столбцу
2. Изменение знака при перестановке двух столбцов.
(2' Дополнительно для поля характеристики два: определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.)
3. $\det E =1$
Тогда не так, чтобы совсем сразу.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Дополнительно для поля характеристики два...

Определители для матриц (квадратных) над произвольными коммутативными кольцами задаются. И оба утверждения будут верны даже в этом случае. Так что про характеристику поля --- это, наверное, лишнее.

Мне всегда казалось, что стандартным является следующее определение: определителем матрицы

$$ A = (a_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} $$

называется значение суммы

$$ \sum_{\sigma \in S_n} (-1)^{\mathrm{sgn}(\sigma)} \cdot a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \ldots a_{n, \sigma(n)}, $$

где $S_n$ есть множество всех перестановок $\{ 1, \ldots, n \}$.

[ewert]

bot писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #144016 писал(а):

Первый пункт тривиален и доказывается сразу из определения определителя.

Это зависит от определения. Можно, к примеру, считать по определению $\det A$ функцией столбцов квадратной матрицы $A$, обладающей тремя свойствами:
1. Линейность по любому столбцу
2. Изменение знака при перестановке двух столбцов.
(2' Дополнительно для поля характеристики два: определитель с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.)
3. $\det E =1$
Тогда не так, чтобы совсем сразу.

Вот!
мы с Вами воистину одной крови -- буквально так я всегда определитель и определяю (за исключением пункта два штрих -- кому они нужны, эти поля).

[Профессор Снэйп]

ewert писал(а):

мы с Вами воистину одной крови -- буквально так я всегда определитель и определяю...

Подозреваю, что после своего определения Вы доказываете упомянутую мною выше формулу, из которой уже, в свою очередь, выводите всё остальное.

[bot]

ewert в сообщении #144031 писал(а):

за исключением пункта два штрих -- кому они нужны, эти поля

Ну можно и для ассоциативно-коммутативных колец с единицей, но пункт 2' совсем не лишний - вот пожалуйста. Для матрицы второго порядка над полем характеристики 2 положим $\det A=(a_{11}+a_{21})(a_{12}+a_{22})$ и вуаля - свойства 1,2,3 есть, а свойства 2' нету.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

называется значение суммы

$$ \sum_{\sigma \in S_n} a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \ldots a_{n, \sigma(n)}, $$

где $S_n$ есть множество всех перестановок $\{ 1, \ldots, n \}$.

А вот это уже, на мой взгляд, неспортивно. Кому интересны перестановки? В то время как линейность, антисимметричность и нормировка -- это святое.

[bot]

Профессор Снэйп в сообщении #144035 писал(а):

Подозреваю, что после своего определения Вы доказываете упомянутую мною выше формулу, из которой уже, в свою очередь, выводите всё остальное.

Ага, так и делаю. Вряд ли я пионер такого подхода. Меня привлекает в нём минимальность начальных свойств и естественность перехода к рассмотрению подстановок.

[Профессор Снэйп]

bot писал(а):

Ну можно и для ассоциативно-коммутативных колец с единицей...

А без единицы? Не получится, ха-ха!

Ассоциативность кольца, равно как и коммутативность, конечно, нужны. Забыл упомянуть.

[Brukvalub]

ewert в сообщении #144038 писал(а):

Профессор Снэйп писал(а):
называется значение суммы

$$ \sum_{\sigma \in S_n} a_{1, \sigma(1)} a_{2, \sigma(2)} \ldots a_{n, \sigma(n)}, $$

где $S_n$ есть множество всех перестановок $\{ 1, \ldots, n \}$.

А вот это уже, на мой взгляд, неспортивно. Кому интересны перестановки? В то время как линейность, антисимметричность и нормировка -- это святое.

Это неспортивно хотя бы потому, что такое определение попросту неверно!

[bot]

ewert в сообщении #144038 писал(а):

Кому интересны перестановки? В то время как линейность, антисимметричность и нормировка -- это святое.

Покажите, как без подстановок перейти к тем же свойствам относительно строк и я соглашусь с Вами.

Профессор Снэйп в сообщении #144041 писал(а):

А без единицы? Не получится, ха-ха!

Разумеется не получится, нормировка, как сказал ewert, дело святое. Без неё в лучшем случае сможем задать детерминант с точностью до множителя и далеко не всегда. Например, в свободном ассоциативно-коммутативном кольце по свойствам 1-3 доберёмся до диагональных определитей с порождающими на этой диагонали, а дальше кирдык - на них как-то определяться надо.

[ewert]

Профессор Снэйп писал(а):

Подозреваю, что после своего определения Вы доказываете упомянутую мною выше формулу,

Естественно. Правда, не доказываю, а просто привожу -- на уровне размахивания руками. Не до доказательств, знаете ли. Просто для иллюстрации того, что этому размахиванию, в принципе, можно придать точный математический смысл.

[zoo]

очень красивый и короткий вывод формулы определителя произведения из определения Профессора имеется у Скорнякова "Элементы алгебры". Однако, мне не разу не удавалось рассказать внятно с помощью этого определения формулу раскрытия определителя по строке(столбцу) Интересно