Cвойства определителей !

[ewert]

bot писал(а):

Ещё и долго пришлось убеждать, что $0!=1$, аргумент удобства их никак не устраивал - докажите!

А это -- трудный вопрос. Конечно, потому, что гамма-функция; но -- где она, эта гамма-функция?...

Хотя можно и так: если принять по определению, что $0!=1$, то дальше по индукции получаются ровно те факториалы, которые привычны.

Впрочем, лично я никогда с этой проблемой не сталкивался. Все всегда охотно принимают это как даговорённость.

----------------------------------------------------------------------------------
а про Маяковского -- хорошо сказано, только: неужто нонешние товарищи помнят, кто такой Маяковский? он ведь вроде как считается сейчас идеологически чуждым

[Профессор Снэйп]

Равенство $0! = 1$ обычно не вызывает никаких вопросов у людей, знакомых с программированием.

Действительно,

$$ p = \prod_{i=1}^n x_i $$

вычисляется программой

p:=1;
for i:=1 to n do p:=p*x[i]

При $n=0$ и $x_i=i$ получаем нужное значение для факториала.

[VAL]

Профессор Снэйп писал(а):

Равенство $0! = 1$ обычно не вызывает никаких вопросов у людей, знакомых с программированием.

Действительно,

$$ p = \prod_{i=1}^n x_i $$

вычисляется программой

p:=1;
for i:=1 to n do p:=p*x[i]

При $n=0$ и $x_i=i$ получаем нужное значение для факториала.

А для тех, кто от программирования далек, можно сделать почти то же самое на словах.

Я спрашиваю:
- Чему равна сумма, если я ничего не складывал?
- Нулю. - тут правильный ответ ноль дают все.
- Верно! То есть, нейтральному элементу по сложению. А чему же положить равным произведение, если я ничего не перемножал?

Обычно срабатывает.

[bot]

VAL в сообщении #144199 писал(а):

Обычно срабатывает.

Я тоже привожу пример с программистом. Вчера впервые не сработало.

[VAL]

ewert писал(а):

ребяты, вы тут чегой-то уж тут шибко вумныя. Кому нужны поля? зачем поля? фактически существуют лишь два поля -- $\mathbb R$ и $\mathbb C$.

Да уж...
Воистину, технический ВУЗ - другая планета

Любопытно, что за конечные поля (я их тоже люблю) вступились практически хором. А самое есественное и исторически первое даже не упомянули.

[ewert]

VAL писал(а):

- Чему равна сумма, если я ничего не складывал?
- Нулю. - тут правильный ответ ноль дают все.

Вообще-то правильный ответ -- "ничему". Если ничего не складывать, то ничего и не получишь. Как и в случае с умножением.

[VAL]

ewert писал(а):

VAL писал(а):

- Чему равна сумма, если я ничего не складывал?
- Нулю. - тут правильный ответ ноль дают все.

Ну, почти все

Цитата:

Вообще-то правильный ответ -- "ничему". Если ничего не складывать, то ничего и не получишь. Как и в случае с умножением.

Это разные "ничемы", "ничты", "ничевы"...
Если мы к чему-то ничего не прибавляем, то результат не должен измениться. Поэтому "ничего по сложению" - это ноль. Если мы что-то ни на что не умножаем, это что-то тоже не должно измениться. Поэтому "ничего по умножению" - это единица.

[ewert]

VAL писал(а):

Это разные "ничемы", "ничты", "ничевы"...
Если мы к чему-то ничего не прибавляем, то результат не должен измениться. Поэтому "ничего по сложению" - это ноль. Если мы что-то ни на что не умножаем, это что-то тоже не должно измениться. Поэтому "ничего по умножению" - это единица.

Да, но Вы ведь сказали "сложить", а не "прибавить". "Перемножить", а не "домножить".

В математике порой вполне можно сжульничать, иногда это даже и святое. Но вот небрежничать -- нежелательно.

[id]

Ну, можно предложить для "улучшения понимания" $0! = 1$ еще и комбинаторную интерпретацию - сколькими способами можно расставить ноль объектов по нулю мест.

[Профессор Снэйп]

id писал(а):

Ну, можно предложить для "улучшения понимания" $0! = 1$ еще и комбинаторную интерпретацию - сколькими способами можно расставить ноль объектов по нулю мест.

+ 1

Существует ровно одна перестановка пустого множества.

[Cellarius]

В теории множеств пересечение пустого семейства подмножеств множества X есть само X. Ещё одна аналогия =)))

А на поле рациональных чисел VAL правильно намекнул: древние греки "жили", помнится, исключительно только в нём и никуда особо не рыпались. Ну, разве что в квадратичные расширения =)))

[ewert]

id писал(а):

Ну, можно предложить для "улучшения понимания" $0! = 1$ еще и комбинаторную интерпретацию - сколькими способами можно расставить ноль объектов по нулю мест.

Это сложно.

Во-первых, требует напрячь фантазию: что значит "к-во способов плевать в потолок", когда изначально вопрос был о "к-ве способов что-то сделать"?

Во-вторых, именно при выводе комбинаторных формул и приходится напоминать, что такое 0!.

[вздымщик Цыпа]

ewert в сообщении #144244 писал(а):

Вообще-то правильный ответ -- "ничему". Если ничего не складывать, то ничего и не получишь.

Кстати, именно такой точки зрения придерживается SQL. "select sum(1) where ..." если ничего не попало в выборку, дает NULL, а не 0. И это записано в стандарте

[Профессор Снэйп]

Cellarius писал(а):

В теории множеств пересечение пустого семейства подмножеств множества X есть само X. Ещё одна аналогия =)))

$\sup \varnothing = -\infty$, $\inf \varnothing = +\infty$. Как ни странно, из той же оперы

Наверное, будет уместно обсудить определение факториала. Я бы предложил

$$ n! = \text{\it количество перестановок множества из } n \text{\it\ элементов} $$

взять за исходное определение, а всё остальное выводить из него.

[ewert]

Протестую! Зачем чесать праое ухо левой ногой именно через Владивосток, когда можно короче?