Помогите с некоторыми нюансами пределов.

[Farid123]

Предположим у меня есть такая вещ : $ \lim_{x\to\infty} \((f_1(x)+f_2(x)+f_3(x)+$\ldots$+f_n(x)) $ . Допустим я хочу найти такой предел не через определенный интеграл,а через правило предела суммы.Но как вы знаете, это правило не всегда можно использоватью.Так вот вопрос такой, достаточно ли сходимость суммы этих функций и наличие их предела или должны быть ещё условия. Если обобщить этот вопрос: Когда предел суммы равен сумме пределов?

[mihaild]

У вас же тут просто конечная сумма, откуда интегралы, какая сходимость суммы?
Предел (конечной) суммы всегда равен сумме пределов слагаемых, если конечно у каждого слагаемого предел существует.

[Farid123]

Не всегда. К примеру сумма n слагаемых $\frac{1}{n}$дает просто 1, а если по отделности брать предел, то 0.Но я сейчас попробую написать решение к проблеме которую я пытался решить,но из-за туманности в этой части предела, решение вроде как ко дну идет.

[mihaild]

Farid123 в сообщении #1439583 писал(а):

К примеру сумма n слагаемых (1/n) дает просто 1, а если по отделности брать предел, то 0.

Так у вас здесь число слагаемых тоже зависит от переменной, по которой берется предел. А в том, что написано в первом посте - не зависит.

[Farid123]

$\lim_{x\to \infty} \sum_{n=1}^{x}\left(\frac{n}{x}\right)^{x}=\lim_{x\to \infty}\left((\frac{1}{x}\right)+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}+\ldots+\left(\frac{x-2}{x}\right)^{\left(x-2\right)}+\left(\frac{x-1}{x}\right)^{\left(x-1\right)}+1)=\ 1+e^{-1}+e^{-2}+$\ldots$.

Во второй части так как число слагаемых "x" ,а х у нас стремиться к бесконечности , то я предположил что и число слагаемых будет стремиться к бесконечности, что дает нам бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем $\frac{1}{e}$ . В итоге по решению предел такой сумму равен $\frac{e}{e-1}$. Подсчеты подтверждают этот факт, но они ничто без точного докозательства.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[mihaild]

Просто так переходить к пределу тут конечно нельзя, надо более точно анализировать, насколько сильно слагаемые отличаются от предела - так, чтобы даже сумма возрастающего числа остатков оказалась мала.
В вашем примере с суммой скажем нужно в первую очередь развернуть сумму (это можно сделать - выражение под знаком предела заменяется на строго равное ему), а дальше разбить сумму на две части: до $N$-го слагаемого (и там можно переходить к пределу почленно), и после (а там оценить каждое слагаемое сверху и получить что остаток суммы маленький).

Вообще с перестановкой пределов связан довольно большой раздел про равномерную сходимость. Его здесь тоже можно применить: сказать что сумма у нас всегда до бесконечности, просто недостающие слагаемые - нули. Дальше нужно проверить, что каждое слагаемое сходится к своему пределу равномерно, и если окажется что это так - можно в сумме переходить к пределу почленно.

[Farid123]

Я дико извиняюсь , могли бы вы первую часть текста написать формулами, мы просто не прошли пока всего этого, но это нужно для конкретно этой проблемы. Я вроде понял примерно типо мы вместо бесконечности стремим нашу переменную под пределом к переменной и затем с помощью этой переменной делим сумму. Но вот только мне кажется в той части суммы где мы будем применять правило суммы, уже убывающей бесконечной геометрической прогрессии не будет уже.Будет просто конечная прогрессия.

[mihaild]

Тут запрещено выкладывать полное решение. Но вы можете (и стоит это сделать) попробовать сделать хоть что-то из данной инструкции и написать, что получается.

Farid123 в сообщении #1439620 писал(а):

типо мы вместо бесконечности стремим нашу переменную под пределом к переменной и затем с помощью этой переменной делим сумму

Непонятно, о чем вы тут говорите.

У вас есть последовательность сумм. Она не очень удобная, давайте её развернем (чтобы $n$-й член $n$-й суммы стал первым, $n-1$-й - $2$-м и т.д.). После этого разбейте все суммы на две части: до скажем $10$-го слагаемого (соответствует последним 10 слагаемым в исходных суммах) и после, выпишите явно какие там получаются суммы, и внимательно посмотрите, что с ними получается.

[Farid123]

Хорошо , сейчас попробую

[Farid123]

$\lim_{x\to\infty}\left(\left(\left(1+\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}+\left(1-\frac{2}{x}\right)^{\left(x-2\right)} +\left(1-\frac{3}{x}\right)^{\left(x-3\right)}+...+\left(1-\frac{n}{x}\right)^{\left(x-n\right)}\right)+\left(\left(1-\frac{\left(n+1\right)}{x}\right)^{\left(x-\left(n+1\right)\right)}+...+\left(\frac{3}{x}\right)^{3}+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)=\left(1+e^{-1}+e^{-2}+e^{-3}+...+e^{-n}\right)+\lim_{x\to\infty}\left(\left(1-\frac{\left(n+1\right)}{x}\right)^{\left(x-\left(n+1\right)\right)}+...+\left(\frac{3}{x}\right)^{3}+\left(\frac{2}{x}\right)^{2}+\left(\frac{1}{x}\right)\right)\right)$
.Вы это имели ввиду?

[mihaild]

Да, так. Теперь вспоминаем определение предела: предел последовательности равен числу, если все члены последовательности, начиная с некоторого, мало отличаются от этого числа.
Сумма первых $n$ слагаемых (при фиксированном $n$) при достаточно больших $x$ мало отличается от $n$-й частичной суммы геометрической прогрессии (т.к. сумма конечная, и все члены сходятся к соответствующим членам геометрической прогрессии).
Сумма всех слагаемых после $n$-го равномерно ограничена - можно оценить сверху каждое слагаемое чем-то не зависящим от $x$ так, что сумма даже этих оценок (и тем более самих слагаемых) будет мала (в том смысле, что стремиться к $0$ при $n \to \infty$).

И план будет такой: мы хотим показать, что при достаточно больших $x$ наши суммы отличаются от суммы геометрической прогрессии не более чем на $\varepsilon$. Сначала выбираем достаточно большое $n$, чтобы сумма слагаемых после $n$-го точно не превосходила $\frac{\varepsilon}{3}$ ни для какого $x$, и при этом сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии отличалась от итоговой суммы не больше чем на $\frac{\varepsilon}{3}$. Потом, зафиксировав это $n$, выбираем достаточно большое $x$, чтобы каждый из первых $n$ членов нашей суммы отличался от соответствующего члена геометрической прогрессии достаточно мало (найдите, насколько именно мало; оценка может зависеть от $n$, но не от $x$).
В итоге получаем, что отличие нашей суммы от суммы геометрической прогрессии складывается из трех компонент: члены после $n$-го; отличие $n$-й частичной суммы самой геометрической прогрессии от её полной суммы; отличие первых $n$ членов нашей суммы от $n$-й частичной суммы геометрической прогрессии. Если все эти три компоненты малы, то и всё отличие будет мало.

(на самом деле выкладки тут будут существенно короче того что я написал словами)

[Farid123]

Спасибо огромное заранее. Вот только одна вещь осталась. Допустим мы показали что отличие не существенное, но как показать переход из конечной геометрической прогрессии ${n}$ членов в бесконечно убывающею?

[mihaild]

Farid123 в сообщении #1439709 писал(а):

но как показать переход из конечной геометрической прогрессии ${n}$ членов в бесконечно убывающею?

В каком смысле "показать"? Как доказывается формула суммы геометрической прогрессии? Это в любом учебнике есть.