Да, так. Теперь вспоминаем определение предела: предел последовательности равен числу, если все члены последовательности, начиная с некоторого, мало отличаются от этого числа.
Сумма первых
слагаемых (при фиксированном
) при достаточно больших
мало отличается от
-й частичной суммы геометрической прогрессии (т.к. сумма конечная, и все члены сходятся к соответствующим членам геометрической прогрессии).
Сумма всех слагаемых после
-го равномерно ограничена - можно оценить сверху каждое слагаемое чем-то не зависящим от
так, что сумма даже этих оценок (и тем более самих слагаемых) будет мала (в том смысле, что стремиться к
при
).
И план будет такой: мы хотим показать, что при достаточно больших
наши суммы отличаются от суммы геометрической прогрессии не более чем на
. Сначала выбираем достаточно большое
, чтобы сумма слагаемых после
-го точно не превосходила
ни для какого
, и при этом сумма первых
членов геометрической прогрессии отличалась от итоговой суммы не больше чем на
. Потом, зафиксировав это
, выбираем достаточно большое
, чтобы каждый из первых
членов нашей суммы отличался от соответствующего члена геометрической прогрессии достаточно мало (найдите, насколько именно мало; оценка может зависеть от
, но не от
).
В итоге получаем, что отличие нашей суммы от суммы геометрической прогрессии складывается из трех компонент: члены после
-го; отличие
-й частичной суммы самой геометрической прогрессии от её полной суммы; отличие первых
членов нашей суммы от
-й частичной суммы геометрической прогрессии. Если все эти три компоненты малы, то и всё отличие будет мало.
(на самом деле выкладки тут будут существенно короче того что я написал словами)