Жёсткость пружины

[spamfolder]

Здравствуйте, товарищи!

Подскажите пожалуйста как можно вычислить жёсткость прямоугольной пружины? С цилиндрической пружиной я уже разобрался, формула в любом учебнике написана:
$k=\frac{G\times d^4}{8\times D^3\times n}$ , где:
$G$ - модуль сдвига материала;
$d$ - диаметр проволоки;
$D$ - диаметр пружины;
$n$ - количество витков.



А вот как высчитать жёсткость пружины прямоугольной формы (не путать с прямоугольным сечением), достоверных источников пока что не нахожу. Из найденного на данный момент могу выделить следующее утверждение немецкой группы машиностроительных инженеров. Они утверждают, что жёсткость пружины, в главную очередь, определяет сопротивление кручению и предлагают использовать следующую формулу:
$k=\frac{G\times J}{r^2\times C\times n}$, где:
$G$ - всё тот же модуль сдвига;
$J$ - сопротивление кручению;
$r$ - радиус пружины;
$C$ - длина окружности пружины;
$n$ - количество витков.

Теперь многое становится на свои места, но что быть с радиусом $r$? Ведь у прямоугольника не может быть радиуса. Я предполагаю, что можно подставить радиус мнимого круга, равного по площади прямоугольной пружине, но является ли моё предположение верным? Проверить моё предположение на практике пока не имею возможности, не имею на руках прямоугольной пружины, в следствие чего хочу услышать ваше мнение.

Спасибо, жду ответа!

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы/обозначения (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[statistonline]

spamfolder в сообщении #1438563 писал(а):

Теперь многое становится на свои места, но что быть с радиусом $r$?

А это $r$ точно не может быть радиусом прутка, из которого навивается пружина? Тут ведь и длина окружности пружины тоже непонятно каким боком и как считать. Дайте ссылку на работу немцев, пожалуйста, тоже очень любопытно взглянуть.

[Emergency]

spamfolder в сообщении #1438563 писал(а):

Они утверждают, что жёсткость пружины, в главную очередь, определяет сопротивление кручению

А во вторую очередь сопротивлением изгибу. Так что тут вопрос требуемой точности.
Если вы возьмете половину витка вашей квадратной пружины, отрезав его по углам, уложите одну сторону на основание и закрепите ее свободный конец чтобы вторая сторона образовала с основанием угол, то получите торсион и балку. В реальной конструкции стороны будут работать как на скручивание, так и на изгиб.

[spamfolder]

statistonline в сообщении #1438733 писал(а):

spamfolder в сообщении #1438563 писал(а):

Теперь многое становится на свои места, но что быть с радиусом $r$?

А это $r$ точно не может быть радиусом прутка, из которого навивается пружина? Тут ведь и длина окружности пружины тоже непонятно каким боком и как считать. Дайте ссылку на работу немцев, пожалуйста, тоже очень любопытно взглянуть.

1) Точно не может. Раз уж на то пошло, радиус прутка должен быть в числителе, а не знаменателе. Чем толще пруток, тем жёстче пружина К тому же радиус прутка уже учитывается в сопротивлении кручению $J=\frac{\pi\times d^4}{32}$, где $d$ - диаметр прутка. Ещё один довод в пользу того, что $r$ - это не радиус прутка. Если я правильно помню сопромат, напряжение при кручении стержня определяется по формуле $\tau=\frac{M}{W_p}=\frac{F\times r}{W_p}$, где:
$M$ - момент, который образует приложенная к пружине сила, относительно витка пружины;
$F$ - величина силы, приложенной к пружине;
$r$ - плечо силы (т.е. расстояние от оси приложения силы до витка в горизонтальной проекции);
$W_p$ - полярный момент сопротивления стержня.
То есть чем больше $r$ и шире пружина, тем больший момент кручения $\tau$ возникает в прутках, тем больше становится деформация пружины и меньше коэффициент жёсткости $k$.



2) Длина окружности считается элементарно, Ватсон. Для круга $С=\pi\cdot D$, для прямоугольника $C=2(a+b)$, для прямоугольника с закругленными углами $C = 2(a+b) - 4\cdot d' + \pi\cdot d'$, где $d'$ - диаметр закругления. Или можно просто нарисовать в Автокаде
3) Ссылка на работу немцев. Они разработали программу для расчёта пружины. Цена вопроса - 725 евро.

[feedinglight]

Если влоб, то можно пружину задать как набор балочных элементов (можно учесть кручение, изгиб, сдвиг в любых комбинациях) и сразу получить ответ как решение слау. Не влоб можно посмотреть вывод матрицы жёсткости для балочного элемента и применить упрощённый вариант с учётом условия задачи. Всё равно эта матрица жёсткости в том или ином виде будет присутствовать, но если её выписать, то это будет мощно .

-- 10.02.2020, 11:32 --

совсем в балках не разбираюсь, но там вроде что-то типа интеграла Мора выписывалось, но в котором учтены все слагаемые, или через потенциальную энергию, где-то в литературе было

-- 10.02.2020, 11:43 --

Фролов К.В. - Динамика и прочность машин (МЭ, том I-3, книга 2) - 1995
Тут было в общем виде, страница 104.

[Walker_XXI]

Прошу прощения, что встреваю в умную беседу...

spamfolder в сообщении #1439025 писал(а):

2) Длина окружности считается элементарно, Ватсон. Для круга $С=\pi\cdot D$, для прямоугольника $C=...$

Я полагаю, тут было недоумение того же плана, что и у Вас (как определить радиус пружины, навитой на прямоугольник), т.к. у прямоугольника соответствующий параметр называется периметром (длиной границы), а вовсе не длиной окружности ;)

[spamfolder]

feedinglight в сообщении #1439137 писал(а):

Фролов К.В. - Динамика и прочность машин (МЭ, том I-3, книга 2) - 1995
Тут было в общем виде, страница 104.

Вы про метод конечных элементов, я правильно понимаю? Могу попробовать в SolidWorks Simulation что-то подобное смоделировать, должно же быть то же самое, что и вручную матрицы жесткости считать? Только надо сперва в нём разобраться, т.к. машиностроение - немного не моя специализация.

[feedinglight]

spamfolder
Не обязательно МКЭ, там в начале стержни так и сяк разжёваны, на стр. 24 может формула пригодится и прочее, я не читал, просто вспомнил что такое есть. Если не то - извините.

[AnatolyBa]

Если предположить, что немецкие инженеры правы, то задача (приближенно, конечно) решается не так уж сложно.
Можно расчитать угол скручивания каждой "балки". Для этого сложного сопромата не нужно. Зная углы - можно расчитать удлинение.

[spamfolder]

AnatolyBa в сообщении #1439219 писал(а):

Если предположить, что немецкие инженеры правы, то задача (приближенно, конечно) решается не так уж сложно.
Можно рассчитать угол скручивания каждой "балки". Для этого сложного сопромата не нужно. Зная углы - можно рассчитать удлинение.

Имея пружину на руках, задача решается элементарно безо всяких углов скручивания. На пружину ставится груз, измеряется деформация, вес груза делится на величину деформации - вот вам и искомый коэффициент упругости пружины $k=\frac{F}{\Delta l}$, где:
$k$ - жёсткость пружины;
$F$ - вес груза;
$\Delta l$ - деформация пружины.

Но есть одно но! Пружин прямоугольных форм у меня нет, поблизости никто не продаёт, а доставка с AliExpress сейчас буксует из-за коронавируса. Да и мой вопрос стоит по-другому. Мне не надо вычислить жёсткость конкретно взятой пружины, мне надобно вывести формулу жесткости чтобы подобрать подходящие требованиям размеры пружины

[feedinglight]

(Оффтоп)

Странно, а ведь на странице 24 как раз угол закручивания написан, неужели это никак не поможет?
Тогда может быть формулу Мора в общем случае для начала записать и энергию деформации стержневой системы за одно?
Ой, уже писал это, круг замкнулся.
тогда в оффтоп

[angor6]

spamfolder

(Оффтоп)

Для общего развития хотелось бы узнать, где рассматриваемые Вами пружины применяются и каковы их преимущества по сравнению с цилиндрическими винтовыми. Сообщите, пожалуйста, если это не секрет.

[AnatolyBa]

spamfolder в сообщении #1439232 писал(а):

На пружину ставится груз

Это и далее - лишнее.

spamfolder в сообщении #1439232 писал(а):

мне надобно вывести формулу жесткости

Именно это я вам и предложил. Вывести формулу. Самому. На основе утверждений немецких инженеров.
И наметил путь. По моим прикидкам, если учитывать только кручение, точность формулы будет порядка 30 процентов.
На своем предложении не настаиваю, т. к. в сопромате не специалист.
Но, говоря практически, сколько нибудь серьезный производитель таких пружин должен иметь какую-то формулу, возможно эмпирическую. Или таблицы