Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.

[Munin]

Судя по "типовое задание", способ записи вводился на лекциях и практических занятиях. Но автор темы их исправно прогулял, и теперь не знает абсолютно ничего.

[pinkyfox_13]

Во-первых, вы не вправе такое говорить, так как абсолютно ничего не знаете обо мне. Во-вторых, я только начинаю знакомиться с предметом по личной инициативе. А что касательно ИДЗ, то мне его скинул знакомый, дабы я ему помог его решить. Если вы не помогаете, то не засоряйте, пожалуйста, тему.

[Munin]

pinkyfox_13 в сообщении #1438361 писал(а):

Во-первых, вы не вправе такое говорить, так как абсолютно ничего не знаете обо мне.

Ну почему ничего не знаю? Я вижу, с каким вопросом вы пришли, что вы понимаете, а что не понимаете, как вы отвечаете.

pinkyfox_13 в сообщении #1438361 писал(а):

Во-вторых, я только начинаю знакомиться с предметом по личной инициативе. А что касательно ИДЗ, то мне его скинул знакомый, дабы я ему помог его решить.

Что ж. Тогда приношу извинения. Оказывается, это не вы прогульщик, а ваш знакомый. На одну ступень косвенности ошибиться в этом действительно можно.

Что же касается вас, то вопрос в том, насколько вы действительно помогаете знакомому решить и учиться, а насколько - делаете задания за него (возможно, за деньги).

Впрочем, насколько можно понять по вашей реакции, совесть у вас всё-таки есть. Буду надеяться на лучшее.

pinkyfox_13 в сообщении #1438361 писал(а):

Если вы не помогаете, то не засоряйте, пожалуйста, тему.

Помочь я, полагаю, всё-таки помог (выудил из вас существенную информацию, указал, где искать недостающую). Но ответы я получил, так что на этом закончу.

[svv]

pinkyfox_13 в сообщении #1438352 писал(а):

Составим матрицу перехода ($C$) и обратную ей матрицу ($D$).
$C= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{pmatrix}, D= \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \\ \end{pmatrix}$.

Ну, матрица $D$, обратная матрице перехода, она тоже матрица перехода, только из базиса $(e'_i)$ в базис $(e_i)$. Эта матрица сейчас нам не нужна (но понадобилась бы при другом типе тензора).
Матрицу $C$ Вы нашли правильно. Но вот есть у меня сомнение: а если бы было дано
$\begin{cases}e_1 '=e_1 + 3e_2 \\ e_2 '=e_1 + 2e_2\end{cases},$
то как бы Вы матрицу перехода записали: $\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ или $\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$ ?

pinkyfox_13 в сообщении #1438352 писал(а):

Условимся, что $i$ отвечает за номер строки, $j$ -- за номер столбца и $k$ -- за номер блока.

Хорошо, что Вы чувствуете ответственность за этот неоднозначный выбор.

pinkyfox_13 в сообщении #1438352 писал(а):

Тогда запишем формулу для вычисления $A'_{111}=A_{ijk}c^{i}_{1}c^{j}_{1}c^{k}_{1}$.

Эта формула правильная. Мелкие замечания:
$\bullet$ в стартовом посте Вы использовали маленькие буквы $a$ для компонент тензора, а тут вдруг большие;
$\bullet$ в стартовом посте Вы использовали букву $V$ для элементов матрицы перехода; я не возражаю и против $c$, только давайте на чём-то остановимся.

pinkyfox_13 в сообщении #1438352 писал(а):

$=A_{111}(c^{1}_{1}+c^{1}_{2})(c^{1}_{1}c^{1}_{1} + c^{1}_{1}c^{1}_{2} + c^{1}_{2}c^{1}_{1} + c^{1}_{2}c^{1}_{2})=1\cdot(1 + 1)\cdot(1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1+1\cdot1) = 8$.

А это совершенно неправильно. Вы вроде бы понимаете, что выражение $a_{ijk}c^{i}{}_{1}c^{j}{}_{1}c^{k}{}_{1}$ есть краткая запись суммы, но суммируете совсем неверно. Например, в этом выражении нижние индексы $c$ фиксированы и равны $1$, но при раскрытии суммы они почему-то начинают плясать.

[pinkyfox_13]

Действительно. Я что-то запутался.

svv в сообщении #1438457 писал(а):

то как бы Вы матрицу перехода записали: $\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 1 & 2\end{bmatrix}$ или $\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 3 & 2\end{bmatrix}$ ?

Второй вариант.

svv в сообщении #1438457 писал(а):

в стартовом посте Вы использовали букву $V$ для элементов матрицы перехода; я не возражаю и против $c$, только давайте на чём-то остановимся.

Остановимся мы на букве $c$. На мой взгляд это более целесообразный выбор, так как матрицу перехода мы обозначили за $C$. А от именования компонент тензора строчной буквой я отказался потому, что использовать заглавную более логично (Пусть название тензора второго ранга $T$. Он задается двумя индексами, которые позволяют полностью описать все его компоненты. Тогда, чтобы указать, что нам необходима компонента с индексами (1,2), нам просто достаточно написать $T_{12}$).

[svv]

Насчёт буковок — принято.

pinkyfox_13 в сообщении #1438465 писал(а):

Второй вариант.

Правильно.
Матрица перехода $C$ от базиса $(e_i)$ к базису $(e'_i)$ определяется разложением $e'_k=e_i c^i{}_{k'}$ . (В матричном элементе $c^i{}_{k'}$ я специально сдвигаю нижний индекс вправо, чтобы было понятно, что он второй.) Это же равенство можно записать в виде
$\begin{bmatrix}e'_1&e'_2&\cdots&e'_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e_1&e_2&\cdots&e_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c^1{}_1&c^1{}_2&\cdots&c^1{}_n\\c^2{}_1&c^2{}_2&\cdots&c^2{}_n\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\c^n{}_1&c^n{}_2&\cdots&c^n{}_n\end{bmatrix}$
Это символическая запись, потому что здесь в векторах-строках элементы являются не числами, а базисными векторами, но на это надо закрыть глаза и перемножить по обычному правилу «строка на столбец».
В моём примере будет $\begin{bmatrix}e'_1&e'_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}e_1&e_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\3&2\end{bmatrix}$

pinkyfox_13 в сообщении #1438465 писал(а):

Действительно. Я что-то запутался.

Тогда разбиваем действие на этапы:
0) Прочитайте ещё раз про соглашение Эйнштейна о суммировании.
1) Допишите к выражению $A_{ijk}c^{i}{}_{1}c^{j}{}_{1}c^{k}{}_{1}$ знаки суммы (с индексами суммирования и пределами), подразумеваемые в соответствии с соглашением.
2) Раскройте все суммы и запишите явно все 8 слагаемых.