Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.

[svv]

В общем, это не книга, в смысле, не учебник. Это сборник вариантов индивидуальных заданий, из которых Вам дали только Ваш.

-- Вт фев 04, 2020 20:24:32 --

Интересно, что выполнить задание можно и не зная точного соответствия между тройкой индексов и позицией элемента в матрице.

Достаточно следующего. При переходе от левого блока к правому какой-то индекс тензора ("красный") меняется с 1 на 2. При переходе внутри блока от левого столбца к правому другой ("зелёный") индекс меняется с 1 на 2. И при переходе от верхней строки к нижней "синий" индекс меняется с 1 на 2. Плюс то, что компоненты в новом базисе записываются в виде матрицы по тем же правилам, что и в старом.

[pinkyfox_13]

Что-то я не совсем понял, что вы хотите сказать. Понятно, что вы описываете передвижение по трехмерному массиву. Однако как корректно применить преобразования, не совсем понятно. Вот мои мысли по решению (я их уже приводил ранее):
Ну, для тензора второго ранга, например $T_{k_1 k_2}$, можно написать закон преобразования так: $T_{i_1i_2}=a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}T_{k_1k_2}$. Перейдем к матричной форме, но перед этим упростим выражение. Выражение $a_{i_1k_1}T_{k_1k_2}$ описывает перемножение компонент $i$-строки матрицы поворота и $k$-столбца матрицы $T$. А выражение $T_{k_1k_2}a_{k_2i_2}^T$ описывает перемножение компонент $k$-строки матрицы $T$ и $i$-столбца матрицы поворота. После всех преобразований имеем: $T'_{i_1i_2}=(aTa^T)_{i_1i_2}$. [Предположение. Вероятно, это бред] Получается тензор третьего ранга содержит в себе два тензора второго ранга. Может разбить данный тензор на два тензора ($ B=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ и $C= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$). Составить матрицу перехода ($G = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$). Поочередно выполнить преобразования ($B'=GBG^T$ и $C'=GCG^T$). Теперь объединяем преобразованные матрицы в тензор третьего ранга ($A'=\begin{bmatrix} 2 & 2 & | & 5 & 7 \\ 4 & 5 & | & 7 & 10 \\ \end{bmatrix}$).

[svv]

Я предлагаю некоторое решение проблемы, которой коснулись здесь в теме. Но нельзя излагать решение, если человек не осознал, что есть проблема. Поэтому подтвердите: Вы понимаете, что это — проблема?:

Утундрий в сообщении #1438187 писал(а):

Пока что "не очень понятно" как по известным компонентам строится сама матрица.

Утундрий в сообщении #1438192 писал(а):

Потому как такое представление сильно не единственно.

[pinkyfox_13]

Вы меня запутали.

-- 04.02.2020, 19:59 --

svv в сообщении #1438289 писал(а):

Я предлагаю некоторое решение проблемы, которой коснулись здесь в теме. Но нельзя излагать решение, если человек не осознал, что есть проблема. Поэтому подтвердите: Вы понимаете, что это — проблема?:

Утундрий в сообщении #1438187 писал(а):

Пока что "не очень понятно" как по известным компонентам строится сама матрица.

Утундрий в сообщении #1438192 писал(а):

Потому как такое представление сильно не единственно.

Это вы мне или Утундрию? Если что вопрос задал я.

[svv]

Я привёл Вам слова другого участника, показывающие, в чём проблема.

Хорошо. Вот матрица:
$\begin{bmatrix}\ldots & \ldots & | & \ldots & \ldots \\ \ldots & \ldots & | & \ldots & \ldots \\ \end{bmatrix}$
Вы можете правильно расставить вместо многоточий компоненты тензора?:
$a_{111},a_{112},a_{121},a_{122},a_{211},a_{212},a_{221},a_{222}$

[pinkyfox_13]

Да.

$$\begin{bmatrix} a_{111} & a_{121} & | & a_{112} & a_{122} \\ a_{211} & a_{221} & | & a_{212} & a_{222}\\ \end{bmatrix}$$

[svv]

Хорошо. У Вас первый индекс соответствует номеру строки, второй — номеру столбца внутри блока, и третий — номеру блока.

Ну, а почему не так: первый индекс — номер блока, второй — номер строки, третий — номер столбца в блоке?
$\begin{bmatrix}a_{111} & a_{112} & | & a_{211} & a_{212} \\ a_{121} & a_{122} & | & a_{221} & a_{222}\end{bmatrix}$
Ведь это тоже непротиворечивый вариант.

[pinkyfox_13]

Согласен. Я исходил из того, что тензор второго ранга задается так $T_{ij}$, а тензор третьего ранга -- так $T_{ijk}$. На новоиспеченный индекс $k$ я возложил функцию определения блока.

[svv]

А раз мы точно не знаем, какие правила приняты составителями задачи, т.е. не знаем, из какого места заданной матрицы $A$ взять, например, $a_{112}$, и в какое место матрицы $A'$ записать, например, $a'_{211}$, как мы можем решить задачу?

Вот об этом тут и говорили. И потому просили книгу и автора.

-- Вт фев 04, 2020 22:11:19 --

pinkyfox_13 в сообщении #1438303 писал(а):

На новоиспеченный индекс $k$ я возложил функцию определения блока.

А вдруг "новоиспечённый индекс" дописали в начало?

[pinkyfox_13]

Но если отталкиваться от предложенного вами или мной варианта, то каким будет решение задачи, если, например, взять мою трактовку расположения компонентов тензора?

[svv]

О! Так вот (хорошая новость!), как бы мы ни связали первый, второй, третий индекс с блоком, строкой и столбцом (возможно 6 вариантов), запись ответа будет одной и той же, хотя трактовка записанной матрицы (где какие компоненты тензора) будет различной.

[pinkyfox_13]

А можно с этого момента поподробнее?

[svv]

Нужно пояснить само заявление, или как оно обосновывается?

[pinkyfox_13]

Как оно обосновывается и как прийти к ответу.

[Утундрий]

Смотря что считать ответом.