Тензорный анализ. Переход от одного базиса к другому.

[pinkyfox_13]

Тензор типа $(0, 3)$ в базисе $\xi=\left\lbrace e_1, e_2\right\rbrace$ пространства $V_2$ задан матрицей $A$. Найти его матрицу в базисе $\xi '=\left\lbrace e_1 ', e_2 '\right\rbrace$, если $A=$\begin{bmatrix} 1 & -1 & | & 2 & 1\\ 1 & 1 & | & 1 & 1\\ \end{bmatrix}$$, $\left\{ \begin{array}{rcl} e_1 '=e_1 + e_2 \\ e_2 '=e_1 + 2e_2 \\ \end{array} \right$.

Относительно данного базиса ($\xi$) задано $2^3$ элементов $a_{ijk}$ с тремя индексами. Закон преобразования элементов тензора третьего ранга имеет вид: $a_{i'j'k'} = V_{i'i}V_{j'j} V_{k'k} a_{ijk}$. Коэффициент $V_{i'i}$ есть направляющий косинус вектора $e_{i'}$ и тд. Но тензор задан в двумерном пространстве. На этом моменте понимание задачи обрывается. Да и не очень понятно, как перейти от индексной записи к матричной.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Утундрий]

pinkyfox_13 в сообщении #1438131 писал(а):

не очень понятно, как перейти от индексной записи к матричной

Пока что "не очень понятно" как по известным компонентам строится сама матрица.

[pinkyfox_13]

Как я понял, эта матрица - простой кубик со стороной 2х2. До черты матрицы представлена его фронтальная сторона, после - тыльная.

[Утундрий]

Такое представление является фантазией автора задачи и потому должно было где-то явно приводиться.

[pinkyfox_13]

Согласен, до меня на вторые сутки только дошло, что автор хотел этим сказать.

[Утундрий]

Так поделитесь. Потому как такое представление сильно не единственно. Например, WM выводит матрицу $2 \times 2 \times 2$ так

$$\[ \left[ {\begin{array}{*{20}c} {\left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{111} } \\ {a_{112} } \\ \end{array} } \right)} & {\left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{121} } \\ {a_{122} } \\ \end{array} } \right)} \\ {\left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{211} } \\ {a_{212} } \\ \end{array} } \right)} & {\left( {\begin{array}{*{20}c} {a_{221} } \\ {a_{222} } \\ \end{array} } \right)} \\ \end{array} } \right] \] $$

[Munin]

pinkyfox_13 в сообщении #1438190 писал(а):

автор

Как зовут автора? И какую книгу он написал?

[svv]

pinkyfox_13 в сообщении #1438131 писал(а):

Закон преобразования элементов тензора третьего ранга имеет вид: $a_{i'j'k'} = V_{i'i}V_{j'j} V_{k'k} a_{ijk}$. Коэффициент $V_{i'i}$ есть направляющий косинус вектора $e_{i'}$ и тд.

Лучше так: $a_{i'j'k'} = V^i{}_{i'}\;V^j{}_{j'}\;V^k{}_{k'}\;a_{ijk}$.
Коэффициенты $V^i{}_{i'}$ образуют матрицу перехода от базиса $(e_i)$ к базису $(e'_i)$. В общем случае я бы не называл их направляющими косинусами.

[pinkyfox_13]

Ну, для тензора второго ранга, например $T_{k_1 k_2}$, можно написать закон преобразования так: $T_{i_1i_2}=a_{i_1k_1}a_{i_2k_2}T_{k_1k_2}$. Перейдем к матричной форме, но перед этим упростим выражение. Выражение $a_{i_1k_1}T_{k_1k_2}$ описывает перемножение компонент $i$-строки матрицы поворота и $k$-столбца матрицы $T$. А выражение $T_{k_1k_2}a_{k_2i_2}^T$ описывает перемножение компонент $k$-строки матрицы $T$ и $i$-столбца матрицы поворота. После всех преобразований имеем: $T'_{i_1i_2}=(aTa^T)_{i_1i_2}$. [Предположение. Вероятно, это бред] Получается тензор третьего ранга содержит в себе два тензора второго ранга. Может разбить данный тензор на два тензора ($ B=\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$ и $C= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$). Составить матрицу перехода ($G = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$). Поочередно выполнить преобразования ($B'=GBG^T$ и $C'=GCG^T$). Теперь объединяем преобразованные матрицы в тензор третьего ранга ($A'=\begin{bmatrix} 2 & 2 & | & 5 & 7 \\ 4 & 5 & | & 7 & 10 \\ \end{bmatrix}$).

[svv]

pinkyfox_13, а что там насчёт названия книги и автора?

[pinkyfox_13]

К сожалению, мне название книги и ФИО автора не известны. У меня есть только фотография типового варианта.

[pinkyfox_13]

Вот фото варианта. Возможно, это поможет опознать книгу и автора.

[Утундрий]

pinkyfox_13 в сообщении #1438248 писал(а):

У меня есть только фотография типового варианта.

Довольно странно решать задание, имея только страницу 69, на коей написано "Решить задание 3 на странице 33".